і. При використанні першим гравцем своєї оптимальної стратегії другий гравець може, наприклад, застосувати дві такі чисті стратегії
При цьому в силу властивості, якщо один з гравців застосовує оптимальну змішану стратегію, а інший - будь-яку чисту, що входить в його оптимальну змішану стратегію з імовірністю не дорівнює нулю, то математичне очікування виграшу завжди залишається незмінним і рівним ціні гри, т.е.
Виграш повинен у кожному з цих випадків бути рівний ціні гри V. У такому випадку справедливі такі співвідношення: [1]
(1.36)
(1.37)
Систему рівнянь, аналогічну (2.5), (2.6) можна скласти і для оптимальної стратегії другого гравця:
(1.38)
(1.39)
Беручи до уваги умова нормування:
(1.40)
(1.41)
Вирішимо спільно рівняння (1.37) - (1.41) щодо невідомих можна вирішувати і не всі відразу, а по три: окремо (1.36), (1.38), (1.40) і (1.37), (1.39 ), (1.41). В результаті рішення отримаємо:
(1.42)
(1.43)
(1.44)
(1.45)
(1.46)
. 5 Графічний метод
Наближене рішення ігри 2 2 можна досить просто отримати скориставшись графічним методом. Суть його полягає в наступному:
Малюнок 1.1 знаходження ділянки одиничної довжини
Виділити на осі абсцис ділянку одиничної довжини. Лівий кінець його буде зображувати перший стратегію першого гравця, а правий другу. Всі проміжні точки відповідають змішаним стратегіям першого гравця, причому довжина відрізка праворуч від точки дорівнює ймовірності застосування першої стратегії, а довжина відрізка зліва від - вірогідності застосування другої стратегії першим гравцем. [1]
Проведено дві осі II і II-II. На II будемо відкладати виграш при використанні першим гравцем першого стратегії, на II-II при використанні ним другої стратегії. Нехай, наприклад, другий гравець застосував свою першу стратегію, тоді на осі II слід відкласти величину, а на осі II-II - величину
При будь змішаної стратегії першого гравця його виграш визначиться величиною відрізка. Лінія II відповідає застосуванню першого стратегії другим гравцем, будемо її називати першою стратегією другого гравця. Аналогічно можна побудувати і другу стратегію другого гравця. Тоді в цілому графічне відображення матриці гри прийме такий вигляд:
Малюнок 1.2 - знаходження ціни гри
Слід однак відзначити, що це побудова проводилося для першого гравця. Тут довжина відрізка рівна ціні гри V. [1]
Лінія 1N2 називається нижньою межею виграшу. Тут наочно видно, що точка N відповідає максимальній величині гарантованого виграшу першого гравця.
Взагалі то кажучи, стратегію другого гравця також можна визначити з цього малюнка, наприклад такими способами. На осі I-I:
(1.47)
(1.48)
або на осі II-II
(1.49)
(1.50)
Однак стратегію другого гравця можна визначити і аналогічно тому, як це робиться для першого гравця, тобто побудувати такий графік.
Малюнок 1.3 - визначення стратегії другого гравця
Тут лінія 1N2 - верхня межа програшу. Точка N відповідає мінімальному з можливих програшів другого гравця, вона то і визначає стратегію. [1]
У залежність від конкретних значень коефіцієнтів матриці графіка можуть мати й інший вигляд, наприклад, такий:
Малюнок 1.4 - визначає оптимальну стратегію першого гравця
У такій ситуації оптимальна стратегія першого гравця є чистою:
. 6 Ігри 2 n або m 2
В іграх порядку 2 n перший гравець має 2 чистих стратегії, а другий n чистих стратегій, тобто матриця виграшів першого гравця має вигляд:
(1.52)
Якщо така гра має сідлову точку, то її легко знайти і отримати рішення. [1]
Припустимо, що гра має сідлові точки. Тоді необхідно знайти такі змішані стратегії і відповідно першого і другого гравців і ціну гри v, які задовольняють співвідношенням:
(1.53)
(1.54)
...
