А влаштована так. Через точку А проходить єдина не кончающаяся в ній утворює, скажімо, в (рис. 5). Ця утворює розділяє поверхню на дві частини. З того боку від твірної в, з якою знаходиться утворює а, до твірної в прилягає плоский шматок, з іншого боку від в, як завгодно близько від точки А, маються не плоскі точки. Крапку А в цій ситуації ми будемо називати півплощини.
Підкреслимо, що якщо точка поверхні не є ні граничної, ні плоскою, то через неї проходить єдина не кончающаяся в ній утворює, причому кінці цієї твірної лежать на межі поверхні.
Приклади
Аркуш паперу, згорнутий в трубочку або в кульок, плоских і Напівплощини точок не має. У трубочки утворюють складають сімейство паралельних відрізків, у Фунтика - сімейство відрізків, віялом розходяться з однієї точки. Можливі більш складні розташування утворюють. Наприклад, що утворюють і плоскі точки розгортається поверхні, зображеної на малюнку 6а, показані на малюнку 6б (на ньому поверхню розгорнута в плоский аркуш паперу): тонкі сині лінії - утворюють, а зафарбовані області складаються з плоских точок.
Точки, що лежать на кордоні області плоских точок, є або граничними для всієї поверхні, або Напівплощини. Якщо поверхня зроблена з паперового багатокутника (скажімо, з прямокутника), то плоскі точки складають один або кілька плоских багатокутників, причому у кожного з цих багатокутників вершини лежать на межі поверхні, а сторони або лежать на кордоні, або складаються з Напівплощини точок (див. ще раз малюнок 6б).
Але повернемося до обчислення?- Нижній грані довжин паперових смужок ширини 1, з яких можна склеїти несмятую стрічку Мебіуса.
Теорема 1: ? ? ? /2
Доказ. Нехай стрічка Мебіуса зроблена з паперової смужки довжини l. Намотаємо на неї довгу паперову стрічку. Ця стрічка (товщиною паперу нехтуємо) буде складена з прямокутників однакової довжини, кожен з яких приймає форму нашої стрічки Мебіуса. Відзначимо на довгій стрічці прямолінійні утворюючі і плоскі точки (як на малюнку 6б). Вийде щось на зразок малюнка 7.
Картина періодична: все повторюється з п?? риоде, рівним 2. Можна сказати більше: при зсуві вліво або вправо на l картинка змінюється, але строго певним чином - вона перевертається (тобто дзеркально відбивається в середній лінії смужки). Області плоских точок являють собою чотирикутники (які можуть виродитися в трикутники), обмежені двома відрізками протилежних країв стрічки і двома відрізками, що проходять по стрічці. Частини стрічки, що не потрапили в ці області, вимощені утворюючими, кінці яких лежать на краях стрічки. Все це випливає з властивостей розгортаються поверхонь. Плоскі ділянки також можна вимостити утворюючими, так що вся стрічка буде покрита безперервним сімейством утворюють (рис. 8). Утворюють в однакових чотирикутника можна вибирати однаковим чином, так що описана вище періодичність збережеться.
Візьмемо будь-яку утворить з нашого сімейства, скажімо, [АВ]. Якщо симетрично відобразити її в середній лінії смужки і потім перенести в будь-яку сторону (скажімо, вправо) на l, то вийде відрізок CD, який теж є твірною з нашого сімейства (рис. 9). Зауважимо (це важливо), що | АС | + | BD |=2 l. При намотуванні нашої довгої стрічки на стрічку Мебіуса утворюють [АВ] і [CD] займуть однакове становище. Причому точка А суміститься з D, а точка В - з С; іншими словами, відрізки АВ і CD складуть в просторі кут в 180 °. Між [АВ] і [CD] розташовується безперервне сімейство утворюють. При русі від [АВ] до [CD] величина кута, який ці утворюють складають в просторі з [АВ], безперервно змінюється від 0 ° до 180 °.
Візьмемо будь n і знайдемо між [АВ] і [CD] такі утворюють [А 1 В 1], ...., [А n - 1 У n - 1], що величина кута між [АВ ] і [A k B k] дорівнює до . 180 °/n. Точки А 1, ..., А n - 1 в цьому порядку лежать між А і С, а точки В 1, ..., В n - 1 - між В і D (див. Рис. 10). Довжина кожної з утворюють більше або дорівнює 1, а величина кута між просторовими положеннями двох сусідніх образ не менше 180 °/n.
Покажемо, що кожна із сум [АА 1] + [ВВ 1], [А 1 А 2] + [В 1 В 2], [А n - 1 С] + [B nl D ] не менша за довжину а2n сторони правильного 2n-кутника, вписаного в коло радіуса 1. Це видно на малюнку 11. На цьому малюнку відрізки А до Е і А до + 1 В до + 1 рівні по довжині, паралельні і спрямовані в одну сторону, [A k F]=[А до Н]=1 і [FG] || [Евк] (рис. 11 зроблений у припущенні, що [А до + 1 В до + 1] lt; [A k B k]; зміни, необхідні у випадках [А до + 1 В до + 1]=[A k B k] і [А до + 1 В до + 1] gt; [A k B k], очевидні). Ми бачимо, що [A k A k + l] + [B k B k + l]=[EB k + l] + [B k B k + l]? [EB k...
