]? [FG]? [FH]? a2n (тут | [A k A k + l], [B k B k + l], [EB k + l] - довжини зображених на малюнку 11 криволінійних відрізків; ці довжини збігаються з довжинами відрізків [A k A k + l ], [B k B k + l] малюнка 10. Передостаннє нерівність випливає з того, що DFHG gt; 90 °, а останнє - з того, що DFA k H? 180 °/n).
Отже, 21=[АС] + [BD]=([АА 1] + [ВВ 1]) + ([А 1 А 2] + [В 1 В 2]) + ... + ([А n - 1 С] + [B nl D])? na2n, тобто 2l при будь-якому n не менш половини периметра правильного 2n-кутника, вписаного в коло радіуса 1. Значить, 2l не менш половини довжини самої цієї окружності, тобто? , І l? ?/2. Теорема доведена.
Теорема 2: ? ? ? 3
Для її доказу достатньо пояснити, як склеїти стрічку Мебіуса із смужки, довжина якої більше? 3 . Припустимо спочатку, що її довжина в точності дорівнює? 3. Тоді на цій смужці можна розташувати два правильні трикутника (рис. 12). Перегнём смужку по бічних сторонах цих трикутників, чергуючи напрямки згину (рис. 13). Краї АВ і CD смужки сполучаться, причому точка А суміститься з точкою D, а точка В - з точкою С. Вийде стрічка Мебіуса.
При цьому побудові було порушено головне правило - не м'яти папір. Але легко зрозуміти, що якщо довжина смужки хоч трохи більше? 3, то злам за твірною можна замінити згинанням, виробленим на вузькій ділянці (рис. 14).
Коротше кажучи, злам уздовж прямолінійного відрізка нам не страшний: його можна замінити близьким до нього згинанням. Непоправне м'яття паперу відбувається, коли дві лінії перегину перетинаються, тобто коли лист складається зразок носової хустки. Як виглядає вийшла стрічка Мебіуса, показано на малюнку 15.
Її пристрій можна уявити собі так: три однакові правильних трикутника ABC, А У С laquo ;, А У С" лежать паралельно один одному, відповідні вершини над відповідними вершинами; боку АВ і А У laquo ;, В С 'і В З raquo ;, С А і СА з'єднані перемичками. Лінія склейки проходить по медіані одного з трикутників.
Теорема 3. Стрічку Мебіуса з самоперетинів можна склеїти із смужки будь-якої довжини, більшої ? /2.
Робиться це так. Візьмемо досить велика непарне n і побудуємо правильний n-кутник, вписаний в коло діаметра 1.
Далі розглянемо n містять центр кола трикутників, кожен з яких обмежений стороною і двома діагоналями n-кутника (рис. 16; тут n=7). Ці трикутники покривають наш n-кутник, деякі його місця - по кілька разів. Докладемо тепер ці n трикутників один до одного так, як показано на малюнку 17. Після цього відріжемо по довгій медіані половину самого лівого трикутника і докладемо її до самого правому трикутнику. Вийде прямокутна смужка з відношенням довжини до ширини, великим?/2, і прагне до?/2 при n, що прагнуть до? (ширина смужки прагне до 1, а довжина - до?/2).
Якщо послідовно перегнути цю смужку по всіх проведеним на ній лініях, чергуючи напрямки згину (рис. 18), то трикутники розташуються як на малюнку 16. Відрізки АВ і CD при цьому майже сполучаться - між ними виявиться тільки кілька шарів складеного паперу. При цьому точка А суміститься з D, а точка В - з С, так що якби ми змогли «пропустити стрічку крізь себе» і склеїти відрізки АВ з CD, то вийшла б стрічка Мебіуса. Якщо стрічку взяти трохи довшою, можна уникнути складок, подібно до того як ми це зробили в доведенні теореми 2. Що вийде, зображено на малюнку 19.
Висновок
У рефераті була пророблена робота з доведення деяких властивостей стрічки Мебіуса. Вивчалися властивості стрічки на наочних прикладах. Також, в рефераті доведені деякі теореми. Вони можуть бути корисні для тих, хто починає вивчати топологію.
Стрічка Мебіуса - перша одностороння поверхню, яку відкрив учений. Чудові властивості аркуша Мебіуса привели до нових відкриттів та винаходів (іноді дуже корисним, а іноді й зовсім марним). У рефераті я спробував описати властивості цієї поверхні, показати її значимість на практиці, довести, що стрічка Мебіуса - топологічна фігура.
Стрічка Мебіуса надихнула багатьох художників на створення відомих скульптур, картин і графіки. Мотив Стрічки Мебіуса зустрічається в назвах художніх творів, громадських закладів, логотипах. Багато фізичні явища використовують для пояснення лист Мебіуса. Вчені генетики розглядають код ДНК в якості моделі стрічки Мебіуса. Лист Мебіуса застосовується для удосконалення технічних приладів. Загадкова стрічка Мебіуса застосовується для показу фокусів в цирку.
...
