тагоністичної грі, платіжна матриця якої збігається з функціоналом оцінювання R=R k? n=(r ij) заданої статистичної гри. [5]
Неокласична антагоністична гра є узагальненням класичної антагоністичної гри. Замість терміну неокласична антагоністична гра використовують синоніми антагоністична гра, задана в умовах часткової невизначеності або антагоністична гра, задана в умовах часткової визначеності raquo ;, або антагоністична гра з неповною інформацією raquo ;, а в роботі [6] антагоністична гра, задана в умовах неповної інформації .
1.4 Матричні гри двох осіб
Найчастіше розглядається гра з двома гравцями, в якій виграш однієї сторони дорівнює програшу іншої, а сума виграшів обох сторін дорівнює нулю, що в теорії ігор називають грою двох осіб з нульовою сумою. Подібна ситуація типова в практичній діяльності менеджерів, маркетологів, фахівців рекламних служб, які щодня приймають рішення в умовах гострої конкуренції, неповноти інформації і т.п .. Основною метою вирішення завдань цього класу є розробка рекомендацій щодо вибору оптимальних стратегій конфліктуючих сторін на основі застосування методичних підходів теорії ігор. [5]
Отже, є два гравці А і В (гра двох осіб з нульовою сумою). Кожен гравець вибирає одну з можливих стратегій: позначимо стратегії гравця А - стратегії гравця В -.
Результати (плата) на всіх можливих варіантів гри задаються спеціальними функціями, які залежать від стратегій гравців, як правило, у вигляді платіжної матриці.
Нехай - виграш гравця А;
- виграш гравця В.
Оскільки гра з нульовою сумою, то
Тоді у разі, якщо те
Отже, мета гравця А - максимізувати величину, а гравця В - мінімізувати її. Нехай тобто маємо матрицю А:
де рядки відповідають стратегіям А i, а стовпці - стратегіям B j.
Матриця А називається платіжної, а також матрицею гри. Елемент цієї матриці a ij - це виграш гравця А, якщо він вибрав стратегію A i, а гравець В - стратегію B j. [4]
Розглянемо приклад. Скласти платіжну матрицю для гри «вірю - не вірю». Правила гри: гравець А має на руках 8 карт - 4 туза і 4 двійки. Він витягає карту, не показуючи її гравцеві В, і каже: «туз» (при цьому він може збрехати, а може сказати правду). Якщо гравець В вірить, то він платить гравцеві А 1 у.о .. Якщо гравець В не вірить, то гравець А показує карту і якщо це дійсно «туз», то гравець В платить гравцеві А 2 у.о.
Якщо це «двійка», то гравець А платить гравцеві В 2 у.о .. Якщо гравець А витягує «двійку» і говорить правду, то він платить гравцеві В 1 у.о.
Рішення.
У гравця А є дві стратегії: А1 - правда, А2 - брехня. У гравця В є дві стратегії: В1 - вірю, В2 - не вірю. Складемо матрицю платежів. Вона має вигляд:
В1 В2
А1
А2
Знайдемо елементи матриці a ij. Імовірність витягнути «туз» дорівнює 0,5 і ймовірність витягнути «двійку» теж дорівнює 0,5. При цьому, якщо гравець А стверджує, що він витягнув «двійку», то гравцеві В не має сенсу не вірити, і якщо гравець витягнув «туз», то йому немає сенсу брехати. Тоді при стратегіях
А1В1: а11=0,5 · 1 + 0,5 · (- 1)=0,
А1В2: а12=0,5 · 2 + 0,5 · 0=1,
А2В1: а21=0,5 · 0 + 0,5 · 1=0,5,
А2В2: а22=0,5 · 0 + 0,5 · (- 2)=- 1.
Таким чином, маємо наступну платіжну матрицю:
В1 В2
А1
А2
1.5 Принцип максимина
З багатьох критеріїв, пропонованих теорією ігор для вибору раціональних варіантів рішень, поширеним є песимістичний критерій минимакса-максимина. Суть цього критерію в наступному.
Нехай гравець А вибрав стратегію A i, тоді в гіршому випадку він отримає виграш, рівний min a ij, тобто навіть тоді, якщо гравець В і знав стратегію гравця А. Передбачаючи таку можливість, гравець А повинен вибрати таку стратегію, щоб максимізувати свій мінімальний виграш, тобто
Така стратегія гравця А позначається і називається максиминной, а величина гарантованого виграшу цього гравця називається нижньою ціною гри.
Гравець В, який програє суми в розмірі елементів платіжної матриці, навпаки повинен вибрати стратегію, яка мінімізує його максимально можливий програш по всіх варіантах дій гравця А. Стратегія гравця В позначається через і називається мінімаксної, а величина його програшу - верхньою ціною гри , т.е.
Оптимальне рішення цієї задачі досягається тоді, коли жодн...
