(12)
де r - радіус-вектор, який визначає положення частинки відносно точки О, а p=mV - імпульс частинки. Модуль цієї величини, рівний rpsina, можна представити у вигляді добутку плеча імпульсу на модуль вектора p:
L=p
Пліч імпульсу називається довжина перпендикуляра, опущеного з точки О на пряму, вздовж якої спрямований імпульс частинки.
Частка володіє моментом імпульсу, незалежно від форми траєкторії, по якій вона рухається. Розглянемо два окремих випадки.
Частка рухається уздовж прямолінійної траєкторії (рис.2). Модуль моменту імпульсу L=mVможет змінюватися тільки за рахунок зміни модуля швидкості.
Рис. 2
Рис. 3
. Частинка рухається по колу радіуса r (рис.3). Модуль моменту імпульсу відносно центру кола дорівнює
L=mVr
і так само, як у попередньому випадку, може змінюватися тільки за рахунок зміни модуля швидкості. Незважаючи на безперервне зміна напрямку вектора p, напрямок вектора L залишається постійним.
Проекція вектора L на довільну вісь z, що проходить через точку О, називається моментом імпульсу частинки відносно цієї осі :
псевдовектори
M=[rF]
Називається моментом сили F щодо точки О, з якої проводиться радіус-вектор r точки прикладання сили. Модуль моменту сили можна представити у вигляді
M=rFsina=F,
де=sina - плече сили відносно точки О (тобто довжина перпендикуляра, опущеного з точки О на пряму, вздовж якої діє сила).
Проекція вектора M на деяку вісь z, що проходить через точку О, щодо якої визначений M, називається моментом сили відносно цієї осі:
Сили взаємодії між частинками діють в протилежні боки вздовж однієї і тієї ж прямої. Їх моменти щодо довільної точки О рівні за величиною і протилежні за напрямком. Тому моменти внутрішніх сил попарно врівноважують один одного, і сума моментів всіх внутрішніх сил для будь-якої системи частинок, зокрема для твердого тіла, завжди дорівнює нулю:
(13)
З'ясуємо, від чого залежить зміна моменту імпульсу частинки. З цією метою продифференцируем вираз (12) за часом:
Згідно з другим законом Ньютона - результуючої сил, що діють на частинку; за визначенням . Тому можна написати, що
Другий доданок є векторним твором колінеарних векторів і тому дорівнює нулю. Перший доданок являє собою момент сили F відносно тієї ж точки, щодо якої взято момент імпульсу L. Отже, ми приходимо до Співвідн?? ю
, (14)
згідно з яким швидкість зміни моменту імпульсу з часом дорівнює сумарному моменту сил, що діють на частинку.
Спроектувавши вектори, що фігурують в рівнянні (14), на довільну вісь z, що проходить через точку О, отримаємо співвідношення
Таким чином, похідна за часом від моменту імпульсу відносно осі дорівнює моменту щодо тієї ж осі сил, що діють на частинку.
Розглянемо систему частинок, на які діють як внутрішні, так і зовнішні сили. Моментом імпульсу L системи відносно точки О називається сума моментів імпульсу Li окремих частинок:
Диференціювання за часом дає, що
(15)
Відповідно до (14) для кожної з частинок можна написати рівність
,
де - момент внутрішніх сил, а - момент зовнішніх сил, що діють на i-ю частинку. Підстановка цих рівностей в (15) приводить до співвідношення:
Кожне з доданків у цих сумах являє собою суму моментів сил, що діють на i-ю частинку. Підсумовування здійснюється за часткам. Якщо перейти до підсумовування по окремим силам, незалежно від того, до якої з частинок вони прикладені, індекс i в сумах можна опустити.
Згідно (13) сумарний момент внутрішніх сил дорівнює нулю. Тому отримуємо остаточно, що
(16)
Формула (16) схожа з формулою (1). З порівняння цих формул укладаємо, що подібно до того, як похідна за часом від імпульсу системи дорівнює сумі моментів зовнішніх сил.
Спроектувавши вектори, що фігурують у формулі (16) на довільну вісь z, що проходить через точку О, прийдемо до рівняння
(17)
Якщо система замкнута (тобто зовнішніх сил немає), права частина рівності (16) дорівнює нулю і, отже, вектор L не змінюється з часом. Звідси випливає закон збереження моменту імпульсу , який свідчить, що момент імпульсу замкнутої системи матеріальних точок залишається постійним . Зрозуміло, залишатиметься п...
