ify"> Розподіл Фермі-Дірака:
Розподіл Максвелла-Больцмана:
Порівняння розподілів Фермі-Дірака і Максвелла-Больцмана показано на малюнку (малюнок 3.3).
Малюнок 3.3 - Розподіл Фермі-Дірака і Максвелла-Больцмана.
Розглянемо більш докладно, як статистика Фермі-Дірака, яку застосував Зоммерфельд до моделі вільних електронів, дозволила позбавиться від найбільш кричущих термодинамічних протиріч моделі Друде.
3.2 Теплоємність металів
Проблема теплоємності електронів провідності на ранньому етапі розвитку теорії металів виявилася непереборно важкою. За часів Друде і потім протягом багатьох років цілком розумним здавалося припущення, що розподіл електронів за швидкостями збігається з рас пределенія молекул у звичайному класичному газі з щільністю п=N/V, і описується, в стані рівноваги при температуреТ, формулою Максвелла - Больцмана, яка має вигляд
де Е - повна енергія частинки.
Подібне припущення у поєднанні з моделлю Друде призводить до результатів, согласующимся по порядку величини з законом Віде мана - Франца.Однако, якщо вважати, що кожен електрон, незалежно від інших, дає внесок в теплоємність металу, рівний 3/2 до в на один електрон. Проте експериментально такий внесок виявлений не був.
Цей парадокс викликав сумніви в справедливості моделі Друде, які розсіялися лише після створення квантової теорії і визнання того факту, що для електронів, в силу принципу заборони Паулі, розподіл Максвелла - Больцмана має бути замінене распреде ленням Фермі -Дірака.
Коли ми нагріваємо зразок від абсолютного нуля, не кожен електрон в ньому набуває енергію порядку k BT, як слід було б згідно з класичною теорією газів. В основному стані всі рівні, що лежать нижче рівня Фермі зайняті. При будь-якому механізмі збудження електрона енергія повинна бути досить великою, щоб електрон перейшов на один з вільних рівнів, що лежать вище рівня Фермі. Електрони, що займають, згідно з розподілом Фермі, енергетичні рівні, що лежать значно нижче рівня Фермі, не відчувають теплове збудження. Збудження таким шляхом відчувають лише ті електрони, енергія яких знаходиться поблизу рівня Фермі в інтервалі k B T.
Електрони, здатні до збудження, поводяться як простий газ з тепловою енергією, рівною. Це дозволяє вирішити проблему теплоємності газу електронів провідності.
При довільній температурі величина Е F визначається з умови, що сума значень функційF (E) по всіх енергетичних уров ням повинна бути дорівнює повному числу електронів в системі. Таким чином, знаючи енергії різних стаціонарних состоя ний, ми можемо обчислити EF.
Припустимо, що газ вільних електронів укладений в прямокутний паралелепіпед з розмірами A, B, Cвдоль трьох координатних осей, компоненти хвильового вектора, що описують хвильові функції, задовольняють періодичним граничним умовам. У цьому випадку повинні виконуватися наступні умови
де nx, ny, nz - цілі числа.
Енергія плоскої хвилі визначається виразом:
Поверхні постійної енергії в k-просторі мають вигляд сфер з об'ємом
Обсяг k-простору, пов'язаний з одним дозволеним хвильовим вектором, становить:
Позначимо через N (E) число станів з енергією менше Е. Число рівнів з енергією менше Е дорівнює обсягу сферичної поверхні енергії в k-просторі, поділена на обсяг, пов'язаний з одним станом. Звідси получаемформулу
Ця формула дає число станів із заданою орієнтацією спина. У кожному такому стані можуть знаходиться два електрони з різними орієнтаціями спина. Таким чином енергія Фермі визначається наступним чином:
Обчислимо щільність станів, тобто число станів в інтервалі між Е і E + dE. Продифференцируем вираз для N (E) по Е:
Як видно, цей вислів пропорційно. Воно дає число станів із заданою орієнтацією спина. Щоб отримати число станів з обома орієнтаціями спина дане виразів потрібно збільшити вдвічі.
Тепер можемо знайти число електронів в цьому енергетичному інтервалі при будь-якій температурі. Для цього необхідно подвоєне вираз для густини станів в інтервалі від EдоE + dE помножити на функцію Фермі. Получающаяся функція зображена на малюнку (малюнок 3.4) для температури абсолютного нуля (випадок а) і при більш високих температурах (випадки bі c).
Малюнок 3.4 - Енергетична залежність число зайнятих рівнів в газі вільних електронів при різних температурах.
