ика.
Бінарне відношення буде транзитивно, коли всі вершини цього прямокутника, належать підмножині.
Бінарне відношення є антисиметричних, якщо і. Дана властивість виконується, коли точка з координатами належить підмножині, а точка з координатами не належить підмножині.
Бінарні відносини можна розглядати на самих різних множинах. Наведемо деякі приклади відносин з алгебри та геометрії.
2.1 Приклади алгебраїчних бінарних відносин
Приклад 2.1.1.
Для дійсних чисел будемо досліджувати властивості бінарних відносин в тому випадку, коли відношення задається наступним чином:
R.
Перевіримо властивості:
) Рефлексивність буде виконуватися, оскільки для будь-якого R.
) Дане стосунок не буде антисиметрично, бо якщо ми візьмемо і, то ми отримаємо
.
Перевіримо виконання умови в випадки, коли і
Отримали, що, але при цьому. Звідси випливає, що дане підмножина НЕ антисиметрично.
3) Перевіримо транзитивність, тоді повинно виконуватися така умова:
і.
Воно, очевидно, буде виконуватися для будь-яких елементів з безлічі R.
) Перевіримо симетричність на кінкретной прикладі. Припустимо і.
Тоді отримуємо. Перевіримо другу частину властивості:,. Дане нерівність невірно, звідки ми робимо висновок, що дане відношення не є симетричним.
Приклад 2.1.2.
- невід'ємні цілі числа, визначені відношенням
) Перевіримо рефлексивність.. Очевидно, що кожне невід'ємне число ділитиметься саме на себе. Перевіримо, чи виконується. Розглянемо позначення як. Тоді, якщо, одержуємо, що. Очевидно, що при множенні будь-якого числа на 0 ми отримаємо 0, а значить, властивість рефлексивності виконується для будь-якого елементу.
) Перевіряємо симетричність. Повинно виконуватися така умова:
, значить. Запишемо посилку і висновок наступним чином: і. Підставляємо значення а в перше рівняння. Отримуємо: або. У безлічі ми не знайдемо двох різних чисел і, таких, щоб їх твір давало 1, отже, дане стосунок не симетрично.
) Перевіряємо транзитивність.
і. Це означає наступне: і. Розпишемо докладно: і. З останнього рівності випливає, що, а це, в свою чергу, означає, що властивість транзитивності на даній множині виконується.
) Перевіримо антисиметричність. Повинна виконуватися умова: і. Якщо, то можна зробити висновок, що. Якщо ж, то повинно виконуватись умова. Умови та виконуються одночасно тоді, коли. Звідси випливає, що антисиметричність виконується.
Про даному відношенні можна сказати, що воно є упорядкуванням множини, оскільки на ньому виконуються умови рефлексивності, антисиметричність і транзитивності.
Приклад 2.1.3.
Визначимо відношення для двох чисел з множини R, так що або. Дане підмножина показано на малюнку 1.
Малюнок 1
) Перевіримо рефлексивність. або. Це означає, що повинно виконуватися хоча б одна з умов або. Ця сукупність нерівностей має своїм рішенням все безліч дійсних чисел. Значить умова рефлексивності виконується.
) Перевіряємо, чи буде дане відношення симетричним. Для цього необхідно виконання наступної умови:. На даному відношенні це записується як або або. Візьмемо, наприклад, і, тоді повинно виконуватися або. Дані умови виконуються. Перевіримо другу частину слідства, де ми бачимо при підстановці значень і наступне: або. Жодне з даних нерівностей не виконується, отже, дане відношення не має властивість симетричності.
) Транзитивність в даному відношенні буде виконуватися в наступному випадку: якщо або і або, то або. Для перевірки якості транзитивності візьмемо конкретні значення. Нехай; і. Ми бачимо, що при підстановці їх в першу частину умови виходить, що з сукупностей або і або хоча б одне нерівність вірно. Але при підстановці цих значень в другу частину умови, ми отримуємо або. Жодне з нерівностей не виконується, отже, умова транзитивності для даного відношення не виконується.
) Розглянемо властивість антисиметричність. Якщо (або) і (і), то. Візьмемо, наприклад, і. , Так як або (виконується хоча б одна з умов). , Так як або. Але, порушується визначення антисиметричність. Значить, дане підмножина не володіє цією властивістю.
Приклад 2.1.4.
Візьмемо відношення на множині Z, яке задамо наступним чином:. Підмножина показано на малюнку 2.
Малюнок 2
) Дане відношення не має властивість рефлексивності. Так як нерівність суворе, то умова не буде виконуватися не при яких значеннях з безлічі Z.
) Перевіримо ставлення на симетричність. Повинно виконуватися така умова:. Якщо ми візьмемо будь-які два значення з безлічі Z, то переконаємося в хибності слідства. Нехай,, отримуємо. Зворотне невірно, оскільки...
