нерівність не виконується. Отже, стосунок не симетрично.
) Перевіряємо транзитивність. На даному підмножині транзитивність виконується, якщо і. Нехай, і. Отримуємо і. На безлічі Z умова транзитивності буде виконуватися для будь-яких чисел.
) Умова антисиметричність виконується, якщо і. Візьмемо і. Умови в лівій частині нерівності виконуються, так як і. Так само виконується умова в правій частині, оскільки нерівність ложно. Звідки можна зробити висновок, що властивість антисиметричність для даного відношення виконується.
Приклад 2.1.5.
Розглянемо наступний приклад бінарного відношення: на безлічі R. Воно показано на малюнку 3.
Малюнок 3
) Розглянемо властивість рефлексивності. Дане відношення буде володіти даними властивістю, оскільки воно містить бісектрису. У цьому легко переконатися: R.
) Перевіримо симетричність. Дане відношення буде симетричним, якщо буде виконуватися умова
;
Розглянемо пару чисел,. При підстановці їх у ліву частину умови, ми отримуємо. Підставами в праву частину, одержуємо. Дане нерівність невірно, отже, підмножина не має властивість симетричності. Графічно дана ситуація показана на малюнку 4.
Малюнок 4
3) Перевіримо властивість транзитивності. Повинно виконуватися умова і; і. Візьмемо для прикладу значення, і. Отримуємо наступні викладки: якщо і, то звідси випливає, що. Оскільки нерівність суворе, це твердження невірно. Звідси ми робимо висновок, що дане відношення не є транзитивним. Графічна інтерпретація показана на малюнку 5.
Малюнок 5
4) Перевіряємо антисиметричність. Повинна виконуватися умова
і; і. Візьмемо для прикладу і. Отримуємо і. Звідси випливає, що. Нерівність вірне, це означає, що ставлення не має властивість антисиметричність. Дана ситуація відображена на малюнку 6.
Малюнок 6
Приклад 2.1.6.
Розглянемо бінарне відношення на множині N. Графічно дане безліч зображено на малюнку 7.
Малюнок 7
) Дане відношення має властивість рефлексивності, оскільки умова виконується для будь-якого елементу з безлічі N.
) Розглянемо властивість симетричності. Воно буде виконуватися, якщо істинно умова. Ми бачимо, що властивість не виконується на даній множині, оскільки, якщо ми візьмемо і, то ми отримуємо, що не перебуває, оскільки не ділиться.
) Перевіримо властивість транзитивності. Якщо і, що в свою чергу означає, якщо і. Нехай; , Тоді, звідси випливає, що. Значить, дане відношення має властивість транзитивності.
) Перевіримо антисиметричність. Підмножина має властивість антисиметричність, якщо і; і. Нехай означає, тоді це. Тоді отримуємо, що. Отримали два випадки. , Оскільки він належить безлічі N, значить. На безлічі N дана рівність можливо тільки в тому випадку, якщо і, а значить. Звідки робимо висновок, що якщо, то. Значить ставлення має властивість антисиметричність.
Приклад 2.1.7.
Розглянемо бінарне відношення: на множині R.
) Очевидно, що дане відношення не має властивість рефлексивності, оскільки R: висловлювання помилкове.
) Перевіримо властивість симетричності. R:. Підставами в першу частину другу, отримуємо, що. Рівність не виконується для будь-яких значень х, отже, дане стосунок не симетрично.
) Перевіряємо властивість транзитивності. Повинно виконується така умова: і. Очевидно, що висловлювання помилкове. Наведемо приклад. Нехай, і, тоді,. Але звідси не випливає, що. Рівність помилкове, ставлення не має властивість транзитивності.
) Перевіряємо антисиметричність. і; і. Перевіримо властивість на конкретному прикладі. Нехай,, тоді й. Висловлення істинно. Ймовірно, дане відношення має властивість антисиметричність.
2.2 Приклади бінарних відносин з курсу геометрії
Приклад 2.2.1.
Розглянемо - безліч прямих на площині. Перевіримо властивості бінарного відношення:. (Прямі та паралельні, якщо вони не мають спільних точок або збігаються).
) Дане відношення має властивість рефлексивності, якщо. Оскільки пряма збігається сама з собою, то вона буде знаходитися у відношенні сама з собою.
) Перевіримо, чи володіє підмножина властивістю симетричності. ;. На малюнку 8 показані пряма і пряма. Очевидно, що ставлення буде симетричним, оскільки якщо, то і.
Малюнок 8
3) Розглянемо властивість транзитивності. Має виконуватися така умова:; і. На малюнку 9 зображені три паралельні прямі. Оскільки вони паралельні між собою, то властивість транзитивності на даному підмножині буде виконуватися.
Малюнок 9
4) Розглянемо властивість антисиметричність. Воно буде виконуватися, як...
