дку в стаціонарних точках.
. Для кожної стаціонарної точки найти и сделать Висновки на базі теореми 2.2.
Приклад 3. Розглянемо функцію.
. Знайдемо,.
. Необхідна Умова Існування екстремум Полягає в тому, що. Розвязка цієї системи є точка з координатами,. Таким чином, у точці (1; 2) функція может мати екстремум.
. Знайдемо Похідні іншого порядку,,, звідки дістаємо, що.
. Як віпліває з пунктом 5 алгоритмом знаходження екстремумів - екстремум у точці (1; 2) існує. Це максимум, бо.
Приклад 4 . Точка О (0; 0) є точкою локального максимуму Функції z =. У Цій точці дана функція досягає свого максимуму (див. Рис. 8). Для Функції z=(рис.9) точка О (0; 0) є точкою локального мінімуму. Локальний мінімум у Цій точці дорівнює.
Функція декількох змінніх, зрештою, як и функція однієї змінної, может мати декілька або безліч локальних екстремумів, а може НЕ мати Жодний.
Приклад 5. Дослідіті на екстремум функцію z =.
Для знаходження стаціонарних точок скорістаемось необхідною умів Існування екстремум. Для цього обчіслімо и прірівняємо до нуля частінні Похідні.
Віразімо З першого Рівняння y и підставімо в одному.
=
(- 8)=0
Маємо дві корені. Знаходімо відповідні y-ки:=0,.
Отже, маємо две стаціонарні точки i в Кожній з якіх может буті екстремум.
Продовжімо дослідження помощью достатніх умів екстремум, для чого обчіслімо частінні Похідні іншого порядку.
Тоді?=AC-=36xy - 36=36 (xy - 1).
Підставімо в отриманий вирази координати критичних точок.
Отже, в точці екстремум немає
А від в точці екстремум є, причому мінімум, оскількі A=6 · 2=12 gt; 0
Для завершення залишилось обчісліті значення Функції в точці мінімуму
Приклад 6. Знайте точки екстремумів та побудуваті графік Функції=2
Візначімо стаціонарні точки: Точка - стаціонарна. ()=4
()=- 24 lt; 0.
Точки екстремумів немає Отже, в точці екстремум немає. Дійсно, если Розглянуто функцію z як функцію лишь змінної x (y зафіксуваті), то в качанах координат є мінімум за x. Если ж розглядаті z як функцію від y (x зафіксуваті), то в точці O (0; 0) функція досягає свого максимуму (рис. 10).
Приклад 7.
z +
Із системи рівнянь маємо, что точка (- 2; - 2) є стаціонарною. Перевірімо достатні умови екстремумів в Цій точці:
=2; 2 + 6 (y + 2);=2 B=- 2 C=2; AC-=0;
У цьом випадка для зе ясування питання про екстремум Функції та патенти дослідження продовжіті. Оскількі F (- 2; - 2)=0, тоді достаточно дослідіті знак Функції в Деяк околі точки (- 2; - 2).
Дослідімо знак Функції вздовж якої-небудь прямої, яка проходити через точку (- 2; - 2). Оскількі у виразі Функції є доданок, то можемо взяти пряму y=x так як в ній одна доданок дорівнює нулю и знак Функції покладів только от знака іншого доданка Очевидно, если y lt;- 2, то, если y gt;- 2, Отже, в будь-якому околі точки (- 2; - 2) є як додатні так и от ємні значення Функції. У точці (- 2; - 2) екстремум немає.
Приклад 8.
z=
D (z) є R
AC -
Дf (2; 2)=f (2 + Дx; 2 + Дy) - f (2; 2)=
=.
Если
Если
Отже, чи не є точкою екстремум.
Означення 2.4. Точки, в якіх функція двох змінніх за однією змінною досягає свого максимуму, а за іншою - мінімуму, назіваються сідловімі точками.
Повернемося ще до випадка, коли? lt; 0 и екстремумів немає. Від ємне значення діскрімінанту буде, зокрема, коли чисті частінні Похідні іншого порядку мают Різні знаки: тоді від ємним буде їх добуток АС.
геометричність цею випадок відповідає так званій сідловій точці, коли за однією змінною в точці реалізується мінімум, а за іншою - максимум.
У Деяк завданнях математики сідлові точки мают значення нітрохі НЕ менше, чем точки екстремумів. Класичним прикладом сідлової точки гіперболічній параболоїд z=з сідловою точкою в качанах координат.
3.
