> Умовний екстремум
екстремум аргумент змінна
Розглянуті задачі знаходження екстремумів функцій НЕ враховувалі Можливі обмеження на область визначення Функції, хоча в реальності, в залежності від фактичного змісту величин, что представляються незалежні змінні, як правило, існують певні природні обмеження.
У попередня параграфі ЦІ результати застосовувалі для дослідження Функції двох змінніх в околі точки, в тій годину як аргумент x, y могли набуваті довільні значення з Деяк близько точки. Часто вінікає складніша, проти більш реальніша ситуация, коли шукають екстремум Функції за Деяк умів, Які обмежують область Зміни аргументів. Роз яснімо суть задачі на простому прікладі: среди прямокутніків, что мают завдань периметр P, знайте такий, площа которого би була найбільшою. Позначімо через x та y Довжину и ширину прямокутник, тоді его площа S буде дорівнюваті S=x · y, а Умова запишеться 2x + 2y=P. Отже, нужно найти екстремум Функції S за умови 2x + 2y=P. Конкретна задача розв язується просто. Віразімо y=і підставімо у функцію SS=x · (P - 2x). Одержані функція є функцією однієї змінної. Дослідімо ее на екстремум. S=P - 2x=0? x=тоді y=P-) =; S=- 2 lt; 0 Отже, прямокутник Із завданні периметром буде мати найбільшу площу, если Рівні его сторону. Тобто це буде квадрат. У загально випадка задачу ставлять так. Знайте екстремум Функції z=f (x; y) (3.1) за умови, что змінні x, y задовольняють Рівняння (x; y)=0. (3.2)
Зауваження. Умова (3.2) может містіті НЕ ЛИШЕ ОДНЕ Рівняння, но ї два, або ж нерівності. Задачу (3.1), (3.2) назівають задачею на відшукання Умовний екстремум Функції двох змінніх , а Рівняння (3.2) - рівнянням зв язку .
Означення 3.1. Функція має в точці, умовний максимум (мінімум), если для будь-якої точки M (x; y) є за умови, что координати точок M та задовольняють умови зв'язку (3.2), віконується нерівність f (M)? f
Для геометричного Тлумачення формулювання задачі (3.1), (3.2) розглянемо функцію двох змінніх z=визначеня на всій площіні XOY. Потрібно найти екстремум цієї Функції, если на змінні x та y Накладено умову x + y=6.
Тобто, На Відміну Від звічайної точки екстремумів, значення Функції z=f (x; y) в точці Умовний екстремум порівнюється зі значеннями Функції НЕ всех точках Деяк ее близько, а только в тихий, Які лежати на Лінії, рівнянням якої є Умова зв'язку (x; y)=0. Як видно з рис. 11, екстремум Функції z=досягається в точці и дорівнює проти Із накладання умови x + y=6 функція набуває свое мінімальне значення в точці
Зауваження. Умовний и безумовна екстремум могут збігатіся або ні. Функція может НЕ мати екстремум, проти мати Умовні екстремум.
Покажемо тепер, что задачу про відшукання Умовний екстремум Функції двох змінніх можна звесті до задачі на відшукання безумовна екстремум деякої Іншої Функції. Нехай точка, (x; y)=0 - точка Умовний екстремум Функції двох змінніх z=f (x; y) (3.3) Із завданні рівнянням зв язку (x; y)=0
Рівняння (3.4) неявно задає y як функцію від x. Тоді функція (3.3) за умови (3.4) є функцією однієї змінної x. Візначімо похідну від Функції z за змінною x. (3.5)
Оскількі точка - точка Умовний екстремум, то похідна (3.5) винна дорівнюваті нулеві, тобто (3.6)
З Рівняння зв язку (3.4) после діференціювання за x одержимо Рівність (3.7) І, зокрема в точці (3.8)
Домножімо (3.8) на поки що невідомий множнік л (незалежний від x та y) i додамо одержании Рівність (3.6) або
Нехай л можна вібрато таким, что (3.9)
(3.10)
Зауваження. Таке л можна вібрато, если хоча б одне з Частинами похідніх Функції (x; y) в точці Відмінна від нуля.
Рівняння (3.9), (3.10) віражають, як известно, необхідні умови екстремумів Функції L (x; y; л)=f (x; y) + л (x; y). (3.11)
Нехай Функції U=f (x; y) та V=(x; y) неперервно діференційовні в околі и ранг матриці Якобі дорівнює 1 у точках, что задовольняють Рівняння звязку.
Означення3.2 .
Функцію L (x; y; л)=f (x; y) + л (x; y) назівають функцією Лагранжа , параметр л - множніком Лагранжа .
Звідсі віпліває, что точка Умовний екстремум Функції f (x; y) за умови (x; y)=0 є обов язково стаціонарною точкою Функції (3.11). Запропонованій метод назівається методом множніків Лагранжа .
Метод Лагранжа пошірюється на Функції n змінніх.
Теорема 3.1. (Необхідн...
