виконується тотожність
з деякого в силу довільності рішення в свою чергу слід тотожність
Достатність, а разом з нею і третя властивість, доведені.
Справедливість четвертого властивості перевіряється підстановкою в систему (2.1).
Безпосередньо з визначення відбиває функції слід Лемма (Основна лема). Нехай права частина системи (2.1) -періодичність по, а її вирішення однозначно визначаються своїми початковими даними. Тоді відображення за період для системи (2.1) можна знайти за формулою і тому рішення розглянутої системи буде - періодичним тоді і тільки тоді, коли є рішення недіфференціальной системи
. (2.7)
Затвердження. Нехай безперервно диференціюється функція -періодичність і нечетна по, т. Е.
і
Тоді всяке продолжімое на відрізок рішення системи (2.1) буде -періодичних і парних по.
Доказ. Достатньо зауважити, що функція задовольняє рівнянню (2.5) і умові (2.6); тому вона, відповідно до третього властивості, є відбиває функцією даної системи. Рівняння (2.7) в нашому випадку вироджується в тотожність і йому задовольняє будь-яке, для якого визначено значення. Тому, згідно з основною лемі, будь продолжімое на рішення системи (2.1) буде періодичним.
Парність довільного рішення системи (2.1) випливає з тотожностей, справедливих чинності першої властивості відбиває функції. Доказ завершено.
Як випливає з основної леми, знання відбиває функції періодичної системи виду (2.1) дозволяє визначити відображення за період такої системи і, значить, знайти початкові дані періодичних рішень цієї системи і досліджувати ці рішення на стійкість. Виникає питання: Може ледве не інтегрована в квадратурах система мати в якості своєї відбиває функції елементарну функцію? Відповідь на це питання позитивний. Справді, для будь-який не интегрируемой в квадратурах системи виду (2.1), для якої, можна побудувати систему
з непарної по правою частиною. Ця система не інтегровна в квадратурах, а її відображає функція задається формулою.
Теорема 1. Нехай всі рішення системи (2.1) періодичні і однозначно визначаються своїми початковими даними. Тоді відображає функція цієї системи періодична по.
Доказ. Нехай всі рішення системи (2.1) періодичні. Тоді
.
Тому
,
т. е. відображає функція періодична по.
Теорема доведена.
Теорема 2.?? усть система (2.1) періодична по, а її вирішення однозначно визначаються своїми початковими даними й існують при всіх. Якщо, крім того, відображає функція цієї системи періодична по, то всі рішення системи (2.1) періодичні з періодом.
Доказ. Система (2.1) періодична, а тому й періодична по. Відображення за період згідно з основною лемі, обчислюється за формулою Таким чином, будь-яка точка є нерухомою точкою відображення за період. Посилання на основний принцип завершує доказ.
Зауваження 1. Аналогічна теорема має місце в тому випадку, коли не всі рішення системи (2.1) продолжіми на відрізок. При цьому висновок про періодичності можна зробити лише для тих рішень, які існують при всіх.
Зауваження 2. З періодичності відбиває функції слід періодичність всіх продолжімих на рішень періодичної системи (2.1). Доказ цього факту аналогічно доведенню теореми 2. З періодичності відбиває функції, взагалі кажучи, періодичність рішень періодичної системи.
Теорема 3.Пусть рівняння (2.1) періодично по, а його рішення однозначно визначаються своїми початковими даними й існують при всіх. Тоді для того, щоб всі рішення рівняння (2.1) були періодичні, необхідна і достатня періодичність по відбиває функції цього рівняння.
Доказ. Необхідність випливає з теореми 1. Для доказу достатності припустимо, що, всупереч твердженням теореми, деяке рішення рівняння (2.1) не є періодичним. тоді послідовність чисел, суворо монотонна. Тому розглядається рішення не може бути і періодичним, а це суперечить твердженням теореми 2. Отримане протиріччя доводить достатність, а з нею і теорему.
З доведених теорем випливає, що всі рішення періодичної системи (2.1) з продолжімимі на рішеннями будуть періодичними тоді і тільки тоді, коли відображає функція цієї системи періодична по з періодом, кратним.
Зазначені властивості відбиває функції дозволяють виділяти диференціальні системи з елементарними відображеннями за період.
§3. Відображає функція рівняння Риккати
Розглянемо рівняння Риккати
(3.1)
з безперервними на R коефіцієнти Для кожної функції введемо позначення
Лемма. Відображає функція (ОФ) рiвняння (3.1) має вигляд:
де а функції є рішеннями лінійної системи
(3.3)
з початковими умовами
