/>
При цьому функції непарна, а парна функція. Область визначення відбиває функції є зв'язне підмножина усіх точок, для яких.
Доказ. Функції
утворюють рішення лінійної системи
З початковими умовами
За теоремою існування та єдиності це рішення збігається з тривіальним (нульовим) рішенням. Звідси і випливає чесність непарність інших функцій.
Для того, щоб показати, що функція (3.2) там, де вона визначена, збігається з відображає функцією рівняння (3.1), досить показати, що вона задовольняє основним співвідношенню для відбиває функції. А це можна зробити, підставивши функцію (3.2) в основне співвідношення і скориставшись співвідношенням (3.3). При цьому рівняння (3.1) доцільно переписати у вигляді:
Зважаючи елементарності вироблених при цій підстановці операцій, саму підстановку тут проводити не будемо.
Покажемо тепер, що область визначення функції (3.2) містить у собі область визначення відбиває функції рівняння (3.1). З цією метою зауважимо, що ця область може звузитися за рахунок того, що чисельник і знаменник функції (3.2) при некоторомодновременно звертається в нуль. Тоді функція (3.2) нічого очікувати визначена при цьому. Покажемо, що це не може здійснитися, тому іодночасно в нуль не звертаються. Дійсно, система (3.3), в чому неважко переконатися, має перший інтеграл тому для рішень системи (3.3) з початковою умовою (3.4) слідують справедливі при всіх тотожності
Ці тотожності показують, що одночасно в нуль звернутися не можуть, а область визначення функції містить в собі область визначення відбиває функції рівняння (3.1). Область, як відомо, містить у собі точки прямій. На цій прямій Тому, з урахуванням безперервності відбиває функції, нерівність виконано у всій області
Лема доведена.
§4. Побудова відбиває функції для одного стаціонарного рівняння Риккати
Лемма. Відображає функція (ОФ) рівняння
має вигляд:
.
Доказ: Розглянемо рівняння виду:
(4.1)
?- Постійна.
Проинтегрируем ДУ (13), і отримаємо:
підставляємо межі інтегрування, отримуємо:
від'ємник переносимо в праву частину:
ліву і праву частину помножимо на, отримуємо:
проекспоніруем ліву і праву частину:
отримаємо:
розпишемо як добуток:
отримаємо:
помножимо ліву і праву частину на:
і розкриємо дужки:
переносимо? в праву частину, отримуємо:
виносимо y за дужки:
висловимо y:
знаходимо відображатиме функцію:
приводимо до спільного знаменника:
розкриємо дужки і з групуємо коефіцієнти при ступенях y:
Лема доведена.
§5. Побудова раціональних рівнянь, які мають таку ж відображатиме функцію, як і деякий рівняння Риккати
Розглянемо диференціальне рівняння виду
.
Знайдемо таке раціональне рівняння, яке буде мати таку ж ОФ як і деякий рівняння Риккати. Візьмемо довільні функції
,,
де дійсні числа, а -нечетние,
Лемма. Для будь-якої функції рівняння
має таку ж ОФ як і рівняння
.
Доказ. Нехай дано функції
,.
При цьому - непарні,.
Для того щоб знайти ОФ даного рівняння:
(5.1)
скористаємося лемою 1из §4:
(5.2)
Для початку знайдемо диференціал функції по:
приводимо до спільного знаменника:
Розкривши в числители дужки і привівши подібні, отримаємо:
.
Тепер отримаємо:
.
Підставами знайдену функцію і дані функції
і
в рівняння (5.1):
перетворимо чисельник і знаменник. Отримаємо:
Привівши до спільного знаменника і зробивши деякі перетворення, отримуємо:
Довели, що рівняння
має таку ж ОФ, що і рівняння Риккати.
Лема доведена.
Висновок
У даній роботі ми розглянули рівняння Риккати виду:
.
Знайшли для нього відображатиме функцію і диференціальне рівняння з такою ж відбиває функцією. Скористалися поняттям ОФ її властивостями і поруч...
