z-z)
1
-883
-150
132500
2
-1383
-650
899167
3
117
50
5833
4
2117
850
1700167
5
-583
-350
204167
6
617
250
154167
Сума:
3195000
Середнє:
532500
З таблиці 1.5 можна бачити, що Cov (x, z) дорівнює 532500, що в точності одно подвоєною Cov (x, y).
Демонстрація правила 3 ​​
Припустимо, що кожна сім'я у вибірці має по два дорослих людини, і припустимо, що через непорозуміння ми вирішили обчислити ковариацию між загальним доходом (x) і числом дорослих в сім'ї (a). Природно, що a 1 = a 2 = ... = a 6 = 2. Таким чином, a сер. = 2. Звідси для кожної сім'ї (aa сер. ) = 0 і, отже, (xx сер. ) (aa сер. ) = 0. Тому Cov (x, a) = 0. p> Теоретична коваріація
Якщо x і y - випадкові величини, теоретична коваріація s xy визначається як математичне сподівання добутку відхилень величин від їхніх середніх значень:
pop.cov (x, y) = пЂ xy = E {(x) (y- y )}
Якщо теоретична коваріація невідома, то для її оцінки може використана вибіркова коваріація, обчислена по ряду спостережень. До жаль така оцінка, буде мати негативний зсув.
Якщо x і y незалежні, то їх теоретична коваріація дорівнює нулю, оскільки: по
E {(x x ) (y y )} = E (x x ) (y y ) = 0 * 0
Вибіркова дисперсія. пЂ
Для вибірки з n спостережень x 1 , ..., x n вибіркова дисперсія визначається як середньоквадратичне відхилення в вибоке:
Var (x) = 1/nS (x-x) 2
Зауваження. Визначена таким чином вибіркова дисперсія являє собою зміщену оцінку теоретичної дисперсії s 2 , яка визначається як:
1/(n-1) пЂ S (xx) 2 , є незміщеної оцінкою s 2 . Звідси випливає, що очікуване значення величини Var (x) дорівнює [(n-1)/n] s 2 і, отже, вона має від'ємне зсув. Відзначимо, що якщо розмір вибірки n стає великим, то (n-1)/n наближається до одиниці і, таким чином, математичне сподівання величини Var (x) прагне до s 2 .
Правила розрахунку дисперсії.
В· Правило 1
Якщо y = v + w, то Var (y) = Var (v) + Var (w) +2 Cov (v, w)
В· Правило 2
Якщо y = az, де a є постійною, то Var (y) = a 2 Var (z)
В· Правило 3
Якщо y = a, де a є постійною, те Var (y) = 0
В· Правило 4
Якщо y = v + a, де a є постійною, то Var (y) = Var (v)
Слід зауважити, що дисперсія змінної x може розглядатися як коваріація між двома величинами x:
Var (x) = 1/n * (x i -x) 2 = 1/n * (x i -x) (x i -x) = Cov (x, x)
Враховуючи це рівність, можна скористатися правилами розрахунку вибіркової коваріації, щоб вивести правила розрахунку дисперсії.
Коефіцієнт кореляції
Розглядаючи ковариацию не можна не відзначити, що вона є не дуже хорошим вимірником взаємозв'язку між величинами. Більш точної заходом залежності є тісно пов'язаний з нею коефіцієнт кореляції. Подібно дисперсії і коваріації, коефіцієнт кореляції має дві форми - теоретичну і вибіркову.
Для змінних x і y теоретичний коефіцієнт кореляції визначається як:
x, y = pop.cov (x, y)/pop.var (x) pop.var (y) = пЂ x, y / x 2 y < sup> 2 var (y)
Якщо x і y незалежні, то r дорівнює нулю, тому що дорівнює нулю теоретична коваріація. Якщо між змінними існує, то s x , y , а отже r x , y будуть позитивними. Якщо існує сувора позитивна лінійна завістмость, то r x ,
