ня прискорення як похідну швидкості по часу: a = Du/dT. Вважаючи du = [u], dT = [Т], отримуємо одиницю прискорення: [а] = При [L] = 1 м і [Т] = 1с [а] = 1 м/с 2 . p> Приклад 4. Встановлення одиниці сили. Виберемо як визначального рівняння закону всесвітнього тяжіння
f = де m 1 і m 2 - розміри мас тіл;
r - розмір відстані між центрами цих мас;
k f - коефіцієнт пропорційності. p> Вважаючи m 1 = m 2 [М], r = [L], отримуємо одиницю сили
В
або при k f = 1 [f] = [M] 2 [L] -2 . При [L] = 1 м і [М] = 1 кг згідно з останньою формулою [f] = 1 кг 2 /м 2 . p> Вибираючи як визначального рівняння другого закону Ньютона f == k f ma, отримуємо аналогічно попередньому одиницю сили у вигляді [f] = k f [M] * [а] = k f [М] [L] [Т] -2 , або у вигляді [f] = [М] [L] [ Т] -2 . При [М] = 1 кг, [L] = 1 м і [Т] = 1с згідно з останньою формулою [f] = 1 кг м/с 2 . p> Обидві отримані одиниці сили рівноправні, однак друга широко поширена, а перша вживається рідко (переважно у астрономії). p> З розглянутих прикладів видно, що при вибраних основних ФВ - довжині L, масі М і часу Т, похідна одиниця [х] деякої ФВ х знаходиться через одиниці [L], [М] і [Т] за формулою:
[x] = k x [L] pL [M] pM [T] pT ,
де k x - довільно обираний коефіцієнт пропорційності;
p L , р М і р Т - позитивні чи від'ємні числа. p> Ці числа показують, як змінюється похідна одиниця ФВ із зміною основною. Наприклад, із зміною основної одиниці [L] в q раз похідна одиниця [х] зміниться в q pL разів. Так як k x при цьому на зміну [х] не впливає, то характер зміни одиниці [х] із зміною одиниць [L], [М] і [Т] висловлюють зазвичай за допомогою формул розмірності, в яких k x = 1. У розглянутому випадку формула розмірності має вигляд
dim x = L pL M pL T pT ,
де права частина називається розмірністю одиниці ФВ; ліва частина - позначення цієї розмірності (dimension);
p L , р М і р Т - показники розмірності. br/>
З формули розмірності видно так само, як змінюється розмір похідної ФВ із зміною розміру основної ФВ при обраному визначальному рівнянні. Праву частина цієї формули називають і розмірністю ФВ. p> Розглянемо загальний випадок, коли є кілька основних ФВ А, В, С, D, ..., Одиниці яких [А], [В], [С], [D], ..... Тоді, очевидно, встановлення похідної одиниці ФВ х зведеться до вибору якого-небудь визначального рівняння, зв'язує х з іншими (основними та похідними) ФВ, до приведення цього рівняння до виду:
х = k x A pA B pB C pC D pD ...,
де р A , р B , р C , p D , ... - Показники розмірності, і до заміні основних ФВ їх одиницями:
[x] = k x [A] pA [B] pB [C] pC [D] pD ...
Формула розмірності в цьому випадку буде мати вигляд:
dim x = A pA B pB C pC D pD ...
Відомо, що похідна одиниця ФВ х володіє розмірністю р А щодо основної одиниці ФВ А, розмірністю р B щодо основної одиниці ФВ В і т.д. (Або що похідна ФВ володіє розмірністю р А щодо основної ФВ А, розмірністю р B щодо основної ФВ В і т. д.). Так, розглянувши розмірність швидкості (Приклад 2) LT -1 , або L 1 M 0 T -1 , можна сказати, що швидкість володіє розмірністю 1 щодо довжини, нульовий розмірністю щодо маси і розмірністю -1 щодо часу (одиниця швидкості володіє розмірністю 1 щодо одиниці довжини і т.д.). p> Якщо р А = р B = р C = р D = ... = 0, то похідна ФВ х називається безрозмірною ФВ, а її одиниця [х] - безрозмірною одиницею ФВ *. p> Прикладом безрозмірною похідної одиниці ФВ може служити одиниця [О¦] плоского кута П† - радіан. При встановленні цієї одиниці в як визначального прийнято рівняння П† == k П† (l/r), що показує, що розмір кута П† тим більше, чим більше розмір довжини l, стягивающей його дуги і чим менше розмір довжини r радіуса цієї дуги. У рівнянні прийнято k П† = 1, l = [L], r = [L]. Отже [О¦] == [L] 0 і dim П† = L 0 . p> Якщо при встановленні похідної одиниці ФВ в її вираженні через основні одиниці ФВ вважають k x = 1, то вона називається когерентної похідної одиницею ФВ. Система о...
