нкцій [5].
Крім розширення області значень аргументу Ейлер зробив принциповий крок вперед у з'ясуванні найважливіших загальних властивостей функцій як аналітичних виразів. Функції, задані єдиним аналітичним виразом, він називає безперервними, вкладаючи, таким чином, в це поняття сенс, відмітний від нашого розуміння безперервності. Розривними функціями у нього називаються функції, задані на різних шматках інтервалу різними аналітичними виразами [6].
Враховуючи запас операцій, прийнятий для утворення аналітичних виразів Ейлер повинен був отримати функції аналітичні в сучасному визначенні всюди, за винятком ізольованих особливих точок. В околиці ж цих точок одержувані функції повинні були допускати розкладання в узагальнений статечної ряд, який міг містити дробові і негативні ступеня. Таким чином, виділяючи клас безперервних функцій, Ейлер по суті виділяв клас аналітичних функцій в сенсі сучасної теорії функцій комплексного змінного. Саме тому встановлені Ейлером найважливіші властивості неперервних функцій виявляються основними властивостями аналітичних функцій в сенсі сучасного визначення. Одне з цих властивостей - представимость функції статечним поруч. p> У більш пізній роботі (1767г.) Ейлер з'ясовує інше істотне властивість безперервних функцій, що полягає в тому, що значення будь-якої функції на як завгодно малому інтервалі. Іншими словами, будь як завгодно малий шматок безперервної кривої визначає всю цю криву. Ейлер встановив ще два загальних властивості безперервних функцій. За Ейлера, функції розривні є або кусково-аналітичними в сенсі сучасного визначення, або аналітичними. Надалі ейлерову трактування поняття функціональної залежності будемо називати трактуванням вузького визначення функції. Це поняття Ейлер розглядає у другому томі В«Введення в аналіз В»(1748г.).
Змістом другого тому є введення в область геометричних додатків аналізу. Досліджуючи питання аналітичної геометрії, Ейлер прийняв умову: не користуватися В«Ніякими іншими допоміжними засобами, крім рівняння, що виражає природу кожної кривої лінії В». Основне завдання він ставить в сенсі вивчення залежності між аплікатою (ординатою) і абсцисою, тому область зміни аргументу обмежується лише полем дійсних чисел. Розширенню піддається саме поняття функціональної залежності. Як сама геометрія, таки одна з найважливіших проблем математичної фізики - завдання про коливання струни - призвела Ейлера до необхідності введення в аналіз розривних функцій, тобто функцій, В«позбавлених закону безперервностіВ». Завдання коливання струни зажадала вивчення В«механічнихВ» кривих, або кривих, одержуваних В«вільним потягом руки В».
Проблема коливання струни справила принциповий вплив на розвиток математичного аналізу не тільки в XVIII, але і XIX столітті.
4. Диференціальне числення
У 1755 році Петербурзька академія наук опублікувала В«Диференціальне численняВ» Л. Ейлера. За змістом, систематичності викладу і послідовності у розвитку необхідних нових понять і алгоритмів цей твір можна поставити на одне з найпочесніших місць у всій історії математичного аналізу. Вельми сильне вплив воно зробило на розвиток і викладання математики в Росії.
У першій половині XVIII століття назріла необхідність звільнити підстави нового обчислення від механічної і геометричної трактування їх. Нове перелік вимагало підходу, вільного від апеляції до фізики, механік і геометрії. Таким походом міг бути тільки аналітичний. В«Тут же все виклад обмежено областю чистого аналізу, так що для викладу всіх правил цього численні не знадобилося жодного креслення В», - вказує Ейлер в заключній фразі свого передмови [7].
В основі диференціального числення Ейлера лежить поняття нескінченно малої величини. У цьому відношенні він слід першого підручника аналізу нескінченно малих Лопиталя (1696г.), написаному під великим впливом І. Бернуллі. p> Роз'яснюючи поняття нескінченно малих і нескінченно великих величин, Ейлер прагне відвести закиди щодо нехтування в аналізі В«геометричній строгістюВ». Однак спроби логічного обгрунтування основних початків аналізу Ейлера не вдалися. Істота цих спроб полягало в побудові В«обчислення нулівВ». Насамперед Ейлер вводить два способи порівняння нулів: арифметичний і геометричний. При першому розглядається різниця нулів, при другому - їх ставлення.
Визначаючи нескінченно малі кількості як чисті нулі, Ейлер змушений полемізувати з Лейбніцем, який вважав, що існують якісь останні частки, звані В«АтомамиВ», В«МонадаВ» йди В«простими сутностямиВ» [8]. p> У роботі про диференціальних рівняннях (1728г.) Ейлер розглядає класи однорідних рівнянь другого порядку. До цього ж часу відносяться його дослідження про геодезичних лініях. Відповідне диференціальне рівняння виявилося також другого порядку. У роботі про початки варіаційного обчислення (1744г.) він використовує диференціали будь-якого порядку, а також поняття функції багатьох змінни...
