ложним дослідженням, від якого, власне, і веде свій початок теоретична гідродинаміка, є твори Ейлера В«Загальні принципи руху рідинВ» [3]. У ньому Ейлера вперше вивів основні рівняння гідродинаміки для рідини, позбавленої в'язкості.
Дослідження коливань струн, мембран, стержнів і найважливішого завдання гідродинаміки вже в 50-х роках XVIII століття послужили джерелом виникнення теорії рівнянь в приватних похідних. В області звичайних диференціальних рівнянь Ейлер і його сучасники могли використовувати результати, отримані їх попередниками, в новій же області треба було починати з самого початку. Ейлер був правий, кажучи, що в цій новій галузі аналізу немає не тільки будь-яких прийомів рішення, а й необхідних позначень.
У постановці аналітичних задач теорії рівнянь в приватних похідних вирішальна роль належала фізиці. Відомості зазначених фізичних завдань до чистого аналізу відразу ж зажадало розвідки правах підступів до цієї нової гілки математики. Відправним пунктом тут могла служити лише теорія звичайних диференціальних рівнянь. Так, у перших роботах про струні Ейлер використовував метод інтегруючого множника і теорію рівнянь у повних диференціалах, а в більш пізніх широко застосовував метод статечних рядів.
Набагато складніше виявилася проблема створення нових методів, що відповідають самій природі рівнянь нового виду. Її рішення є одним з найважливіших питань сучасної математики. На частку дослідників XVIII століття випало створення основ методу характеристик і методу тригонометричних рядів. Перше виконав Ейлер, друге розпочав у свої дослідженнях Д. Бернуллі. Обидва ці методу отримали подальший розвиток у XIX столітті і є одним з найсильніших в сучасної теорії рівнянь в приватних похідних. Лагранж заклав основи теорії сполучених рівнянь, що було пізніше вихідним пунктом у розробці відомого В«методу РіманаВ», в якому істотне значення має застосування характеристичних координат.
Інтерес до математичного аналізу посилився постановкою низки нових геометричних завдань у ході розвитку диференціальної геометрії. Вирішення цих завдань призводило до рівнянням в приватних похідних першого порядку.
Таким чином, до кінця розглянутого періоду в теорії диференціальних рівнянь накопичилося порівняно багато приватних результатів, які необхідно було систематизувати.
3. Розвиток основних понять математичного аналізу в XVIII століття
У розвитку математики, механіки, фізики і всього природознавства в Росії і західноєвропейських країнах XVIII століття особливу роль відіграли праці видатного математика і механіка XVIII століття Леонарда Ейлера.
Незважаючи на то, що протягом попередніх століть механіка і геометрія настійно ставили перед мислителями завдання вивчення залежності між змінними величинами, поняття про взаємозалежність таких величин не отримало аналітичного виразу. Не тільки у Лейбніца, але і у Даламбера поняття залежності між змінними носило геометричний характер, так як вони розглядали залежності між відрізками прямих. Ввівши саме слово В«функціяВ», Лейбніц починаючи з 1692 називає їм відрізки будь-яких прямих, пов'язаних тим чи іншим чином з точками певної величини - флюенти, за його термінологією, служить деяка рівномірно поточна величина, аналогічна часу.
Тим часом сукупність окремих класів функцій неухильно збільшувалася. Істотно значення в цьому процесі мало складання таблиць логарифмів, вдосконалення таблиць тригонометричних функцій, обумовлене, зокрема, споживання геодезії та навігації.
Таким чином, вже на рубежі XVII і XVIII століть виникла потреба у вираженні понять функціональної залежності, вільному від геометричного і механічного облачення, та завдання виділення найважливіших класів функцій. Перший значний крок у вирішенні цієї проблеми зробив в 1718 р. І. Бернуллі. Він писав: В«Функцією змінної величини називають кількість, освічене яким завгодно способом з цієї змінної величини і постійних В». Безпосереднім розвитком визначення Бернуллі з'явилася трактування Ейлера поняття функціональної залежності в першому томі В«Введення в аналізВ»: В«Функція змінної кількості є аналітичний вираз складене якимось чином з цього змінної кількості і чисел або постійних кількостей В»[4].
ейлерова визначення функції - це по суті визначення функції комплексної змінної проте сенс його стає виразним лише після того, як з'ясовується зміст понять В«аналітичний виразВ».
Саме тут Ейлер і добігає класифікації функцій. В якості допустимої операції при складання, множення і ділення, піднесення до степеня і добування кореня, рішення алгебраїчних рівнянь інтегрування. Функції, одержувані в Внаслідок цих дій, виключаючи інтегрування, Ейлер називає алгебраїчним і ділить їх на раціональні (цілі і дробові) та ірраціональні. Застосування названих операцій до елементарних трансцендентним функцій e вЃї, ln n, sin n, cos n приводить його до трансцендентним фу...
