х.
5. Інтегральне числення та теорія звичайних диференціальних рівнянь
У 1768 року Петербурзька академія видала перший том В«Інтегральне численняВ» Л. Ейлера. Другий і третій томи також у Росії в 1769 і 1770 роках. Широта змісту, надзвичайне багатство нових результатів, в переважній більшості що належать самому Ейлера, проникнення у складні питання теорії диференціальних рівнянь, не тільки звичайних, але і в приватних похідних, - Все це визначило значення і роль тритомного твори Ейлера в історії математичного аналізу. Без перебільшення можна сказати, що В«Інтегральне числення В»Ейлера становить епоху в розвитку математичного аналізу. Цей праця надав також вплив на подальший розвиток ряду математичних наук.
У поняття інтегрального числення Ейлер, як і його сучасники, включав не тільки інтегрування функцій, а й інтегрування диференціальних рівнянь, звичайних і в приватних похідних.
У зв'язку з цим три томи В«Інтегрального обчисленняВ» містять такі розділи: інтегрування функцій, інтегрування звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, інтегрування диференціальних рівнянь другого і вищого порядків, інтегрування рівнянь з приватними похідними.
У 1794 р. вже після смерті Ейлера Петербурзька академія наук видала четвертий том В«Інтегрального обчисленняВ», що містить доповнення, головним чином, до перших двом томам. У Зборах творів Л. Ейлера матеріал четвертого тому розподілений за відповідними томам першої серії цього видання.
У своєму виданні Ейлер вказує: В«Інтегральне числення має бути поширене на розвідку функцій двох або більшого числа змінних, коли задано якесь співвідношення між диференціалами В»[9]. Він зазначає, що знаходження функції двох і більшого числа змінних за заданим співвідношенню між їх диференціалами ще ніде не містилося. Вирішення цієї завдання принесло б В«дуже велику користь механіці і особливо у вченні про рідинах В». Таким чином, завдання ставиться в плані вирішення будь-яких диференціальних рівнянь, не тільки звичайних, але і в приватних похідних. Далі Ейлер визначає повний і приватний інтеграли. Поняттями повного і приватного інтегралів звичайних диференціальних рівнянь він володів ще в 1738 році, а у своїх друкованих роботах ввів їх вперше в 1743 році.
Розглядаючи основні напрямки розвитку теорії звичайних диференціальних рівнянь у XVIII століття, з'являються перші задачі динаміки точки при їх аналітичної трактуванні, які зажадали методів інтегрування нелінійних рівнянь другого порядку та їх систем.
Назрівала також потреба у розвитку теорії лінійних рівнянь. Це пояснюється тим, що на початку XVIII століття набувала все більш серйозне значення теорії малих коливань матеріальних систем з кінцевим числом ступенів свободи. У зв'язку з конструюванням достатнього точних маятникових годин, необхідних для астрономічних спостережень, а також з першими гравіметричними проблемами виникла необхідність у побудові аналітичної теорії математичного та фізичного маятників, що є розвитком результатів Гюйгенса (кінець XVIII ст.).
Інше напрямок теорії звичайних диференціальних рівнянь - чисельні методи наближеного інтегрування диференціальних рівнянь - було обумовлено в значній мірі вимогами небесної механіки.
Одним з напрямів у розвитку теорії звичайних диференціальних рівнянь було також вивчення особливих рішень. Воно визначалося завданнями геометричного змісту, зокрема завданнями швидко розвивалася диференціальної геометрії. Найголовнішими завданнями з них були завдання про знаходження огинають і ізогональних траєкторій сімейств кривих (пізніше - сімейств поверхонь). У XVIII столітті напрямок, пов'язане з вивченням сімейств плоских кривих, зокрема сімейств інтегральних ліній, було найменш значним. Проте вже на початку другої чверті XIX століття тісно пов'язана з теорією особливих рішень проблема єдиності рішення задач з початковими умовами, а разом з нею і загальна проблема існування рішень придбали в теорії звичайних диференціальних рівнянь першорядне значення.
Рівень накопичених до початку XVIII століттю знань про властивості і способи рішень звичайних диференціальних рівнянь був абсолютно недостатній для вивчення нових складних завдань. Тому не дивно, що вже з початку другої чверті XVIII століття спостерігалося значне підвищення інтересу до цієї області аналізу. У першому ж томі В«КоментарівВ» Петербурзької академії за 1726 були поміщені дослідження з диференціальних рівнянь Я. Германа. Х. Гольдбаха, І. Бернуллі і його синів Миколи і Данила. Досить значна розвиток у XVIII столітті теорія диференціальних рівнянь отримала в працях Ейлера, братів Бернуллі, Даламбера, Лагранжа, Лапласа.
Природно, що досягнення Ейлера, перші у величезній нової галузі аналізу, не могли бути досить загальними і завершеними. Теорію рівнянь в приватних похідних розвинув далі Ж. Лагранж. Аналіз його досліджень показує спадкоємність ейл...
