ому подкоренное вираз завжди неотрицательно. br/>
1.3. Тривимірний кристал
В
Ми розглянули коливання в одновимірної ланцюжку. Подібним чином можуть бути описані і коливання грати тривимірного кристала. p> Припустимо, що примітивна комірка кристала складається з l атомів. Кожен атом осередку будемо позначати індексом s , цей індекс приймає l різних значень. Будь атом кристала однозначно визначається радіус-вектором, що задає положення комірки (відповідного вузла решітки Браве), та індексом s , що характеризує становище атома всередині комірки (тип атома). p> Зсув атомів при коливаннях решітки є лінійною комбінацією плоских гармонічних хвиль (точніше, їх речових частин): (40).
Частота коливань однакова для всіх атомів кристала. Амплітуда коливань залежить від типу атома (індексу s ), тобто однакова для всіх однотипних атомів. Напрямок вектора амплітуди може, взагалі кажучи, бути яким завгодно. p> Індекс j позначає гілка коливань. Хвильовий вектор і гілка j однозначно визначають частоту і відносні амплітуди атомів усіх типів. Для кожної гілки залежності і є безперервними функціями. p> Якщо примітивна комірка кристала містить l атомів, то число гілок дорівнює 3 l . Таким чином, кожному значенню хвильового вектора відповідають 3 l різних коливань. p> Три з цих гілок - акустичні, в граничному випадку довгих хвиль їх частота пропорційна довжині хвильового вектора П‰ = | k |. Однак швидкість звуку залежить від напрямку поширення хвилі, тобто від напрямку вектора. У разі довгохвильових акустичних коливань амплітуди всіх атомів примітивної комірки приблизно однакові. p> Решта 3 l -3 гілок - оптичні, при їх частота відмінна від нуля. p> У напрямку амплітуди щодо хвильового вектора акустичні коливання можна розділити на поздовжнє і два поперечних. Як правило, швидкість звуку у поздовжнього коливання більше, ніж у поперечних. p> У кристалів зі структурою алмазу або цинкової обманки примітивна комірка містить 2 атома. Відповідно, крім трьох акустичних, ці кристали володіють трьома оптичними гілками коливань, з яких також можна виділити подовжню і дві поперечних гілки. p> Як і в одновимірному випадку, хвильові вектора, що відрізняються один від одного на вектор оберненої гратки, відповідають одному й тому ж коливанню. З цієї причини досить розглядати хвильові вектора, що лежать в першій зоні Бріллюена. p> Кількість дозволених хвильових векторів в зоні Бріллюена одно N = V / v 0 - числу примітивних осередків у нормувального обсязі кристала V = L 3 ( V 0 - обсяг примітивної комірки). Дійсно, щільність дозволених хвильових векторів у зворотному просторі дорівнює V /(2 ПЂ ) 3 , тобто в обсязі зворотного простору О” 3 k міститься О” 3 k В· V /(2 ПЂ ) 3 дозволених хвильових векторів. Обсяг зони Бріллюена - обсяг примітивної комірки зворотного решітки - дорівнює (2 ПЂ ) 3 / v 0 , і для числа дозволених станів отримуємо p> Число гілок - 3 l , тому повне число коливань дорівнює 3 lN - потроєному числу атомів кристала в обсязі L 3 , тобто числу ступенів свободи механічної системи. <В
Глава 2. Фонони. Фононний газ
В
коливання грати, згідно з квантовою механікою, можна зіставити квазічастинки - фонони. Кожному коливанню відповідає одне стан фонона з імпульсом і енергією. p> Мінімальна порція енергії яку може поглинути або віддати Богові кристалічна решітка при теплових коливаннях відповідає на цьому малюнку переходу з одного енергетичного рівня на інший дорівнює і називається фонони. p> Таким чином між світлом і тепловими коливаннями кристалічної решітки можна провести аналогію - пружні хвилі розглядаються як поширення деяких квазіупругіх частинок - фононів. p> Р. Паерлс в 1929 році ввів в теорію Дебая квантові (фононні) явища і показав, що тепловий опір решітки обумовлено взаємодією фононів. Фонон, у відмінності від звичайних частинок, може існувати лише в деякому середовищі, яка перебуває в стані теплового збудження. Не можна уявити фонон , який поширювався б у вакуумі, оскільки він описує квантовий характер теплових коливань решітки та навічно замкнутий у кристалі. Корпускулярний аспект малих коливань атомів решітки кристала приводить до поняття фонона, і поширення пружних теплових хвиль в кристалі можна розглядати як перенесення фононів.
Фонони є бозе-частинками: число фононів, відповідних певному коливанню (число фононів одному стані), може бути як завгодно великим. У стані термодинамічної рівноваги середнє число фононів n jk гілки j з хвильовим вектором залежить тільки від енергії фонона (частоти ...
