коливання):
(31).
Тут k - постійна Больцмана. З точки зору квантової (та й класичної) механіки, нормальні коливання решітки поводяться як набір незалежних гармонійних осциляторів. Роль координати осцилятора відіграє при цьому амплітуда коливання, число фононів є рівнем енергії осцилятора. p> На кожне коливання доводиться середня енергія. Строго кажучи, до цієї енергії треба додати енергію основного стану коливання (енергію нульових коливань): як і у звичайного гармонійного осцилятора вона дорівнює. Але енергією нульових коливань кристал має завжди, і ми просто приймемо її за початок відліку. p> При високих температурах, k b T >> Д§ П‰ , число фононів пропорційно температурі: (32).
Середня енергія коливання при цьому дорівнює kT . Це відомий результат класичної статистичної механіки для середньої енергії гармонійного осцилятора. Таким чином, поки температура перевершує енергію фонона, квантові ефекти не грають ролі. p> Вони грають істотну роль при низьких температурах. Якщо k T <<Д§ П‰ , то середня кількість фононів експоненціально мало:
(33). br/>
Можна сказати, що коливання, частота яких перевершує величину kT /Д§,'' вимерзають''. Енергія коливання не може бути менше енергії одного фонона Д§ П‰ jk а енергія фонона багато більше характерної теплової енергії kT , тому такі коливання практично не порушуються. <В
Глава 3. Акустична і оптична гілки коливань.
Отже, для кожного хвильового вектора k, згідно рівняння (30) існують дві частоти П‰ , задовольняють дисперсионному рівнянню. Точніше, є дві безперервні функції П‰ ( k ), які відрізняються знаком перед коренем. Кажуть, що існують дві гілки коливань. p> Досліджуємо обидві гілки. p> Нагадаємо, що хвильові вектора, що відрізняються на вектор зворотного решки, описують одне і те ж коливання. (Внаслідок цього функція П‰ ( k ) періодична з періодом зворотного решітки 2 ПЂ / a , а в тривимірному випадку володіє трансляційної симетрією зворотного решітки). Тому ми вважаємо, що хвильовий вектор лежить в межах першої зони Бріллюена: - ПЂ / a < k < ПЂ / a . h5> Рішення зі знаком '' Мінус''
У точці k = 0:
(34). br/>
На кордоні зони Бріллюена:
(35)
При ka <<1 (довгі хвилі):
(36)
Або іншими словами:
(37)
Ми бачимо, що в довгохвильовому межі закон дисперсії цієї гілки лине, тобто, як і у випадку ланцюжка з одним атомом у примітивній комірці, описує акустичні коливання. З цієї причини вся гілка (рішення зі знаком'' -'') називається акустичної (рис.3.1). br/>
В
Рис. 3.1. Закон дисперсії коливань ланцюжка з двома атомами у примітивній комірці.
Вираз для швидкості звуку має такий же вигляд, що і відповідний вираз для ланцюжка з одним атомом у клітинці (20) і залежить від тих же макроскопічних характеристик: лінійної щільності і пружною постійної ланцюжка:
(38). br/>
Лінійна щільність двоатомної ланцюжка дорівнює ( M 1 + M 2 )/ a , а пружна постійна - Оі В· a /2 (так як довжина однієї пружинки в наших позначеннях дорівнює a /2). p> Це і не дивно. Ми вже бачили, вивчаючи ланцюжок з одним атомом у примітивній комірці, що довгохвильові акустичні коливання можна отримати, розглядаючи ланцюжок, як безперервну пружну середу. Атоми осередку при таких коливаннях рухаються разом, як єдине ціле, тому структура примітивної комірки не грає ролі, а важливі лише макроскопічні, усереднені характеристики ланцюжка. p> Те, що атоми осередку при довгохвильових акустичних коливаннях рухаються разом, можна отримати і безпосередньо, вирішивши систему (25). Ця система розв'язана, коли її визначник дорівнює нулю, а визначник дорівнює нулю, коли П‰ і k пов'язані законом дисперсії. При цьому рівняння системи вже не є незалежними, і ми можемо взяти будь-яке з них, щоб знайти відношення амплітуд A і B . p> З першого рівняння системи (25) отримуємо:
(39),
звідки в межі довгохвильових акустичних коливань ( k в†’ 0, П‰ = s | k | в†’ 0) слід B / A в†’ 1, тобто A = B : атоми рухаються у фазі з однаковими амплітудами. br/>
В
Рис. 3.2. Амплітуди атомів ланцюжка в разі довгохвильових акустичних коливань.
Відзначимо також, що на межі зони Бріллюена групова швидкість ∂ ...
