0 -8 cм. Характерна енергія - енергія, яку набуває атом при зміщенні на відстань порядку a . Її можна оцінити як енергію хімічного зв'язку, яка по порядку величини дорівнює 10 еВ. Таким чином:
(16). br/>
В якості маси для оцінки можна підставити величину 10 M p , де M p ≈ 1,67 В· 10 -27 кг - маса протона. p> Для П‰ max отримуємо:
(17).
Знайдемо довжину хвилі електромагнітного випромінювання такої частоти: br/>
(18). br/>
Електромагнітні хвилі з такою довжиною належать інфрачервоному діапазону. p> При ka /2 <<1, коли довжина хвилі О» = 2 ПЂ / k багато більше a , sin ( ka /2) ≈ ka /2, тому:
(19). br/>
Таким чином, довгохвильові коливання - це звукові хвилі з лінійним законом дисперсії П‰ = | k |. Вище ми вже отримували такий результат, замінивши точне рівняння ланцюжка (2) хвильовим рівнянням (3). Це й не дивно: довгі хвилі'' не відчувають'' дискретної структури ланцюжка, ланцюжок веде себе як безперервна пружна середу. З цієї причини швидкість звуку залежить тільки від макроскопічних характеристик ланцюжка: лінійної щільності, M / a , і пружною постійної ланцюжка Оі a - Коефіцієнта пропорційності між відносним подовженням ланцюжка і виникає при цьому силою натягу:
(20). br/>
Розглянуті нами коливання одновимірної ланцюжка називають акустичними, оскільки при k в†’ 0 ( О› в†’ в€ћ) вони відповідають звуковим хвилям. p> Нижче ми побачимо, що в ланцюжку з двома (і більше) атомами в елементарній комірці поряд з акустичними можуть поширюватися хвилі іншого типу. p> При квантовомеханічної описі кожному коливанню відповідає квазічастинка з імпульсом p = Д§ k та енергією. Квазічастинки, відповідні пружним коливанням кристалічної решітки називаються фононами . Фонони, відповідні акустичним коливанням, також називаються акустичними. p> Оцінимо максимальну енергію акустичного фонона в одновимірної ланцюжку:
(21)
Експериментальні значення Д§ П‰ max в реальних кристалах становлять 30 Г· 40 меВ. p> Ця величина набагато менше більшості характерних електронних енергій (~ 1 еВ) і близька до теплової енергії при кімнатній температурі ( kT ≈ 0.025еВ, тут k - постійна Больцмана). <В
1.2.Одномерная ланцюжок з двома атомами у примітивній комірці
В
Досліджуємо тепер коливання ланцюжка, елементарна комірка якої складається з двох атомів з різними масами: M 1 і M 2 , для визначеності покладемо M 1 < M 2 . Період ланцюжка (відстань між вузлами її решітки Браве) як і колись позначимо через a (рис. 3). Для простоти будемо вважати, що '' Пружинки'' з'єднують атоми мають однакову твердість Оі . br/>
В
Рис. 1. 3. Одновимірна ланцюжок з двома атомами у примітивній комірці і її решітка Браві.
Запишемо закон Ньютона для двох атомів n -й осередки:
(22). br/>
Тут u n і v n - Зміщення відповідно маленького і великого атома n -й осередки з положення рівноваги. p> Будемо, як і у випадку ланцюжка з одним атомом у примітивній комірці, шукати рішення у вигляді плоскої гармонічної хвилі:
(23).
Амплітуди коливань маленького і великого атомів A і B в загальному випадку різні як за абсолютною величиною, так і по фазі. p> Після підстановки (23) в (22) отримаємо лінійну однорідну систему рівнянь для A і B :
- M 1 П‰ 2 A = Оі ( Be ika + B -2 A )
- M 2 П‰ 2 B = Оі ( A + Ae - ika -2 B ) (24). p> Перепишемо її в стандартному вигляді:
(25)
Така система має рішення лише в тому випадку, коли її визначник дорівнює нулю. Прирівнюючи нулю визначник (25) отримаємо рівняння, що зв'язує П‰ і k , тобто дисперсійне рівняння:
(26). br/>
Це рівняння зручно переписати, використовую приведену масу атомів примітивної комірки Ој :
(27). p> (28)
В
Його рішення мають вигляд:
(29)
або (30).
Величина 4 Ој 2 /( M 1 M 2 ) за будь-яких M 1 , M 2 вбирається одиниці, т...
