* та 10 *) можна переписати у вігляді
,
,
,
что і треба Було довести.
Імовірність сумісного Настанов подій, тому з рівностей (5-7) слідують нерівності:
, (8)
, (9)
. (10)
Для несумісніх подій и нерівності (8-10) переходять у строгі рівності.
Дві віпадкові події А і В назіваються Незалежності, ЯКЩО для них справджується Рівність
, (11)
и перелогових, Якщо не справджується. ВРАХОВУЮЧИ властівість асоціатівності Операції перерізу множини, Рівність (10) можна Узагальнити на випадок декількох незалежних подій
. (12)
Остання Рівність назівається теореми множення ймовірностей незалежних подій.
Если події залежні, то Настанов однієї з них змінює ймовірність Іншої.
Приклад 3. У урні є 2 білі та 3 чорні Кулі. З урні виймають одну кулю, после чего, що не повертаючі ее тому, виймають ще одну. Нехай Подія А - Першого разу війнята біла куля, а Подія В - іншого разу війнята біла куля. Если Подія А настала, то ймовірність, а ЯКЩО Подія А чи не настала (Першого разу війнята чорна куля), то.
Імовірність події В за умови Настанов події А назівається умовно ймовірністю и позначається або. Зх Використання умовних ймовірностей для ймовірності Спільного Настанов будь-яких подій А і В можна записатися
. (13)
Если події незалежні, то
(14)
і (13) переходити у Рівність (11).
Рівність (13) можна Узагальнити на випадок довільної кількості залежних подій,
, (15)
- ймовірність Настанов події А 3 за умови Настанов події А 1 І А 2 , ...,
- ймовірність події А n за умови Настанов и події А 1 , и події А 2 , і ..., и події А n-1.
З формули (12) слідує Рівність
, (16)
яка часто вікорістовується для означення умовної ймовірності.
В
8. Залежність/незалежність та сумісність/несумісність подій
У більшості практичних випадка Важко Одразу сделать Висновок про незалежність/залежність подій та про їх сумісність/несумісність, и того необхідні певні Дослідження.
Для перевіркі залежності/незалежності подій звітність, перевіріті Рівність (1.7.11) або (1.7.13). Рівність справджується - події незалежні, що не справджується - залежні.
Приклад 1. Звітність, дослідіті на залежність/незалежність події А - випада дубль при кіданні двох кубіків - и події В - випада менше 6 очок.
Розв'язування. Для цього звітність, обчісліті та. Це можна сделать, ЯКЩО скористати Класичним означенность ймовірностей. Події А спріяють Наслідки, Всього 6 Із 36. Тому. Події У спріяють Наслідки
Всього 10 Із 36. Тому. Одночасному Настанов подій А і В спріяють Наслідки, Всього 2. Тому. p> Отже,. Висновок - події залежні. p> Для перевіркі сумісності/несумісності Випадкове подій звітність, перевіріті умову. Рівність справджується - події несумісні, що не справджується - сумісні.
Приклад 2. Події А і У з прикладові 1.8.1 є суміснімі:
.
Незалежні події А і В при ненульовіх ймовірностях всегда сумісні.
Доведення. Зх Означення незалежності подій слідує, что ЯКЩО І, то, что и є означенность сумісності подій.
Несумісні події обов'язково незалежні. Сумісні події могут буті як перелогових, так и Незалежності. p> Для сукупності подій А 1 , А 2 , ..., А n можна Говорити про залежність/незалежність та сумісність/несумісність подій у сукупності. Події є несуміснімі у сукупності, ЯКЩО
. (1.8.1)
Несумісність подій у сукупності слідує з попарної несумісності
.
Події А 1 , А 2 , ..., А n незалежні у сукупності, ЯКЩО віконується Умова
. (1.8.2)
Взагалі Кажучи, з попарної незалежності подій НЕ слідує незалежність подій у сукупності.
Приклад 3. Нехай три Грані правильного тетраедра зафарбовані у червоний, зелений та синій кольори, відповідно, четверта грань у три кольори - червоний, зелений та синій. Нехай Подія R - тетраедр впавши на межу з червоного кольору, G - тетраедр впавши на грань Із зеленим Кольорах, B - тетраедр впавши на межу Із сінім Кольорах. Очевидно, что ймовірності. Дійсно, при кіданні тетраедра Можливі 4 Наслідки: тетраедр впавши або на червону межу, або на синю, або на зелену, або на різнокольорову. Події R спріяє два Наслідки - тетраедр впавши на червону межу або на різнокольорову. Тому. Аналогічно для подій G и B. Події спріяє один наслідок - тетраедр впавши на різнокольорову грань. Тому: події R и G є Незалежності. Аналогічно встановлюється незалежність подій R и B та G и B. Події - тетраедр впавши на межу з трьома Кольорах - спріяє один наслідок, того. Отже, незважа...
