она є найважливішою теоремою геометрії.
Теорема
У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
Доказ
Розглянемо прямокутний трикутник з катетами a, b і гіпотенузою c.
Доведемо, що.
Добудуємо трикутник до квадрата зі стороною a + b. Площа S цього квадрата дорівнює. З іншого боку, цей квадрат складений з чотирьох рівних прямокутних трикутників, площа кожного з яких дорівнює, і квадрата зі стороною c, тому
В В
Звідки
В
В
Доказ Евкліда
Ідея докази Евкліда полягає в наступному: спробуємо довести, що половина площі квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, а тоді й площі великого і двох малих квадратів рівні.
Розглянемо креслення зліва. На ньому ми побудували квадрати на сторонах прямокутного трикутника і провели з вершини прямого кута З промінь s перпендикулярно гіпотенузі AB, він розсікає квадрат ABIK, побудований на гіпотенузі, на два прямокутника - BHJI і HAKJ відповідно. Виявляється, що площі даних прямокутників в точності рівні площам квадратів, побудованих на відповідних катетах.
Спробуємо довести, що площа квадрата DECA дорівнює площі прямокутника AHJK Для цього скористаємося допоміжним спостереженням: Площа трикутника з тією ж висотою і підставою, що і даний прямокутник, дорівнює половині площі заданого прямокутника. Це наслідок визначення площі трикутника як половини твори підстави на висоту. З цього спостереження випливає, що площа трикутника ACK дорівнює площі трикутника AHK (не зображення на малюнку), яка, у свою чергу, дорівнює половині площі прямокутника AHJK.
Доведемо тепер, що площа трикутника ACK також дорівнює половині площі квадрата DECA. Єдине, що необхідно для цього зробити, - це довести рівність трикутників ACK і BDA (так як площа трикутника BDA дорівнює половині площі квадрата за вказаною вище властивості). Рівність це очевидно: трикутники рівні за двома сторонами та кутом між ними. Саме - AB = AK, AD = AC - рівність кутів CAK і BAD легко довести методом руху: повернемо трикутник CAK на 90 В° проти годинникової стрілки, тоді очевидно, що відповідні сторони двох розглянутих трикутників співпадуть (зважаючи того, що кут при вершині квадрата - 90 В°).
Міркування про рівність площ квадрата BCFG і прямокутника BHJI абсолютно аналогічно.
Тим самим ми довели, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, складається з площ квадратів, побудованих на катетах. Ідея даного докази додатково проілюстрована за допомогою анімації, розташованої вище.
В
Теорема, зворотна теоремі Піфагора
Теорема
Якщо квадрат одного боку трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то трикутник прямокутний.
Доказ
Нехай у трикутнику ABC. Доведемо, що кут C прямій. p> Розглянемо прямокутний трикутник з прямим кутом, у якого і. За теоремою Піфагора, і, значить,. Але за умовою теореми. Отже,, звідки
Трикутники ABC і рівні за трьома сторонам, тому, тобто трикутник ABC прямокутний з прямим кутом C. Теорема доведена.
. ru
