>
Рис. б)
a 2
В В В В a b
a a
В
b b
a b
З іншого боку, цей квадрат складений з даного прямокутника з
площею S, рівного йому прямокутника з площею S (властивість 1 0 площ) та двох квадратів з площами a 2 і b 2 ( властивість 3 0 площ). По властивості 2 0 маємо:
, або.
Звідси отримуємо: S = ab. Теорема доведена.
Площа паралелограма
Підстава - одна із сторін паралелограма
Висота паралелограма - перпендикуляр, проведений з будь-якої точки
Протилежної сторони до прямої, що містить підставу.
Теорема
Площа паралелограма дорівнює добутку його основи на висоту.
Доказ:
Розглянемо паралелограм ABCD з площею S. Приймемо сторону AD
за підставу і проведемо висоти BH і CK (див. рис.). Доведемо, що S = AD BH. p> Доведемо спочатку, що площа прямокутника HBCK також дорівнює S.
Трапеція ABCK складена з паралелограма ABCD і трикутника ABH.
Але прямокутні трикутники DCK і ABH рівні за гіпотенузі і гострому куту (їх гіпотенузи AB і CD рівні як протилежні боку паралелограма, а кути 1 і 2 рівні як відповідні кути при перетині паралельних прямих AB і CD січною AD), тому їх площі рівні.
Отже, площі паралелограма ABCD і прямокутника HBCK також рівні, тобто площа прямокутника HBCK дорівнює S. По теоремі про площі прямокутника S = BC BH, а так як BC = AD, то S = AD BH. Теорема доведена .
B C
A H D K
Площа трикутника
Теорема
Площа трикутника дорівнює половині твори його основи на висоту.
Доказ:
Нехай S - площа трикутника ABC (див. рис.). Приймемо сторону AB за основу трикутника і проведемо висоту CH. Доведемо, що AB CH. p> Добудуємо трикутник ABC до паралелограма ABCD так, як показано на малюнку. Трикутники ABC і DCB рівні за трьома сторонам (BC - їх загальна сторона, AB = CD і AC = BD як протилежні сторони паралелограма ABDC), тому їх площі рівні. Отже, площа S трикутника ABC дорівнює половині площі паралелограма ABDC, тобто AB CH. Теорема доведена .
C D
A H B
Слідство 1
Площа прямокутного трикутника дорівнює половині твори його катетів.
Слідство 2
Якщо висоти двох трикутників рівні, то їх площі ставляться як підстави.
Скористаємося наслідком 2 для доведення теореми про ставлення
площ трикутників, що мають по рівному кутку.
Теорема
Їли кут одного трикутника дорівнює розі іншого трикутника, то площі цих трикутників відносяться як твори сторін, що укладають рівні кути.
Доказ:
Сторінка 10
Нехай S і - площі трикутників ABC і, у яких (див. рис.) Доведемо, що.
Накладемо трикутник на трикутник ABC так, щоб вершина сполучилася з вершиною А, а сторони і наклалися відповідно на промені AB і AC. Трикутники ABC і AC мають загальну висоту CH, тому. Трикутники AC і A також мають спільну висоту, тому. Перемноживши отримані рівності, знаходимо:
= або.
Теорема доведена . br clear=all>
З
A B
Площа трапеції
Доведемо таку формулу для обчислення площі трапеції:
Площа трапеції дорівнює добутку однієї з бічних сторін на довжину перпендикуляра, опущеного на неї з середини іншій бічній боку.
Доказ. Нехай ABCD - дана трапеція (), - середина сторони - перпендикуляр, опущений з точки на пряму. (Рис. 1)
В
Рис. 1
Проведемо через точку K пряму, паралельну прямій АВ. Нехай М і Р - точки її перетину з прямими ВС і AD. Паралелограм АВМР рівновеликий даної трапеції, так як п'ятикутник АВСКР є для них спільним, а трикутник СМК конгруентна трикутнику KPD, тобто трапеція і паралелограм складені з однакових частин.
Оскільки площа паралелограма дорівнює добутку його заснування АВ на висоту КН, твердження доведено.
Зауваження . Останній абзац рішення можна (більш формально) записати й так:
,
(з побудови),
(по стороні і двом прилеглим кутах), тому
,
отже, . br/>
Теорема Піфагора
Користуючись властивостями площ багатокутників, ми встановимо тепер чудове співвідношення між гіпотенузою і катетами прямокутного трикутника. Теорема, яку ми доведемо, називається теоремою Піфагора.
В...
