акі форми індуктивних міркувань, як повна і математична індукція, саме в розділі про індуктивних міркуваннях, хоча висновки, засновані на них, є достовірно істинними. Подібний підхід виправдовується тим, що рух думки тут починається від приватного і направлено до загального. А саме з цим традиційна логіка пов'язувала індукцію і відрізняла її від дедукції.
Повна індукція
Умовивід, засноване на дослідженні всіх приватних випадків, які повністю вичерпують обсяг даного класу, називають повною індукцією. Укладення такого міркування має достовірний характер, у зв'язку з чим деякі логіки відносять його до дедуктивним умовиводів. Мабуть, така традиція сходить ще до Арістотелем, який розглядав повну індукцію як силогізм по індукції. Безперечно, що за характером отриманого знання повна індукція може бути віднесена до дедуктивним умовиводів, однак за спрямованістю процесу міркування від часткового до загального вона стоїть ближче до індуктивним міркуванням. Правда, це найпростіший спосіб індукції, який на відміну від інших її форм не дає принципово нового знання і не виходить за межі того, що міститься в її посилках. Проте загальний висновок, отримане на основі дослідження приватних випадків, підсумовує міститься в них і дозволяє узагальнити її, поглянути на неї з іншої точки зору. Саме тому повна індукція використовується не тільки в повсякденній практиці, але і в ході дослідження та навчання. Підсумовування інформації, її систематизація, цілісний охоплення безлічі приватних випадків у сукупному знанні являють собою перший крок на шляху до інтеграції знання.
Якщо позначити судження, що характеризують деякий загальна властивість приватних випадків через Р, а їх суб'єкти відповідно - через S1, S2, ..., Sk, то логічна структура повної індукції може бути представлена ​​схемою:
S1 є Р;
S2 є Р;
............
Sk есть Р.
При цьому S1, S2, ..., sk вичерпують весь клас розглянутих випадків Si тобто всі S є Р (i = 1,2, ..., к).
У математики докази, засновані на повній індукції, називають доказами приватних випадків (або розбором випадків). Наприклад, доказ теореми "Площа трикутника дорівнює половині твори його основи на висоту "проводиться шляхом розгляду випадків, коли трикутник є гострокутним, прямокутним і тупокутний.
Незважаючи на простий характер умовиводи повної індукції, іноді й тут допускаються помилки, які пов'язані головним чином з пропуском якого приватного випадку, внаслідок чого висновок не вичерпує всі випадки і тим самим є необгрунтованим. Найчастіше це відбувається тоді, коли не проводиться чіткого розмежування між окремими випадками або допускається як свідома виверт у суперечці, коли одному з його учасників виявляється невигідним розглянути всі випадки, які можуть спростувати його твердження.
Математична індукція
Зазвичай таку індукцію вважають типово дедуктивним способом умовиводи не тільки тому, що вона призводить до достовірно істинним висновками, а через її використання в якості специфічного математичного докази. Між тим історично і за характером міркування математична індукція відрізняється від звичайної дедукції тим, що вона починається з деякого припущення, яке спирається на спостереження деяких окремих випадків. Потім, допускаючи це припущення вірним для деякого випадку, скажімо, для числа п, доводять, що воно вірно також для наступного числа n + 1. Оскільки безпосередньо було знайдено, що припущення справедливе щодо натуральних чисел 1, 2, 3, то на основі доведеного припущення, тобто переходу від п до n + 1, його переносять на всі числа натурального ряду. Звідси неважко зрозуміти, що математична індукція спирається на особливу структуру освіти натурального ряду чисел, де кожне наступне число утворюється шляхом додавання одиниці до попереднього. Грунтуючись на цій властивості натуральних чисел, Б. Паскаль і Я. Бернуллі розробили метод докази з допомогою математичної індукції. Аби краще уявити суть даного методу, розглянемо приклад з елементарної математики, що відноситься до встановлення формули п-го члена арифметичної прогресії. Якщо нам дана, скажімо, прогресія 1, 3, 5, 7, те кожний наступний член в ній утворюється з попереднього шляхом додавання числа 2 - знаменника прогресії. Звідси ми можемо зробити припущення, що і у всякій іншій арифметичної прогресії будь n-й член виходить аналогічним чином. Отже, на індуктивної фазі міркування передбачається, що для прогресії а1, а2, а3, ..., Аn, an +1 ... її п-й член ат визначається формулою
an = а1 + (n - 1) d.
Фаза докази повинна продемонструвати, що якщо формула вірна для деякого члена an, то вона буде вірна і для an +1. Для цього достатньо додати до попереднього члену а знаменник прогресії а, тоді отримаємо: an +1 = a1 + d (n - 1) + d = an + nd. Якщо формула, як ми безпосередньо переконалися, правильна для а1 = 1, то по доведеному вона вірна для а2 ...
