= 3, а3 = 5 і т.д. Таким чином, наше припущення вірно для всіх цілих чисел, з яких складається дана прогресія.
Той факт, що математична індукція починається з деякого припущення (або гіпотези), зближує її з індуктивними міркуваннями, але, так як припущення підкріплюється доказом, заснованим на переході від an до an +1, це додає їй доказовий характер.
Узагальнююча індукція
Крім повної і математичної індукції, які призводять до достовірних висновків, всі інші форми індукції лише наводять на істину, і тому їх результати мають лише проблематичний (імовірнісний) характер. Це іноді служить підставою для недооцінки їх ролі в науковому пізнанні. Тим часом варто лише задуматися над питанням, звідки беруться загальні посилки для дедуктивних умовиводів, як відразу ж згадують про рух пізнання від приватного до загального, а це і є індукція в загальноприйнятому сенсі слова.
У традиційній логіці саме подібної індукції протиставлялася дедукція, як перехід від знання загального до приватного. Хоча з сучасної точки зору таке протиставлення, як ми бачили, виявляється неспроможним, проте воно вірно помічає відмінність між типовими індуктивними узагальненнями і Дедукція. У цьому сенсі навіть повна і математична індукції можуть з відомими застереженнями розглядатися як особливі випадки узагальнюючої індукції, оскільки хід міркування в них є типово індуктивним, заснованим на дослідженні деяких приватних випадків і перенесення відкритого в результаті цього знання на весь їхній клас в цілому. Однак до типових видами індуктивного узагальнення відносять різні форми неповної індукції, коли укладення має не достовірний, а лише правдоподібний (імовірнісний) характер. При цьому ступінь ймовірності укладання залежить від глибини і ретельності дослідження тих конкретних випадків, на які спирається індуктивне узагальнення. Відповідно можна виділити кілька видів індуктивного узагальнення. p> Індукція через перерахування випадків
Більше повно і точно це поняття може бути виражене так: індукція допомогою перерахування приватних випадків, що підтверджують узагальнення, поки не зустрінеться випадок, який суперечить йому. Мабуть, це один з найдавніших способів міркувань, який часто використовується в повсякденній практиці. При цьому систематичного аналізу випадків, що підтверджують припущення загального характеру, не проводиться. Такі індуктивні узагальнення грунтуються на виділенні поверхневих, найчастіше кидаються в очі властивостей речей і явищ, внаслідок чого вони найбільшою мірою схильні до ризику спростування. Традиційний і повчальний приклад такого узагальнення являє собою індуктивне узагальнення "Всі лебеді білі". Мабуть, воно було отримано на основі простого перерахування випадків спостереження забарвлення лебедів, які зустрічалися в Європі. Виявлення чорних лебедів в Австралії відразу ж спростувало колишнє узагальнення.
Незважаючи на те що подібний вид індуктивного узагальнення схильний до ризику спростування, тим Проте він широко використовується в повсякденних міркуваннях, чому нерідко його називають популярною індукцією. Щоб підвищити ступінь надійності узагальнення, необхідно, по-перше, з відкритих в ході спостереження або дослідження загальних властивостей вибрати властивості найбільш важливі і суттєві, по-друге, постаратися знайти певну зв'язок між знову відкритими і вже відомими властивостями. Ясно, що якби було встановлено зв'язок між кольором лебедів і більш важливими їх анатомо-фізіологічними властивостями, впливом на забарвлення кліматичних і інших умов, то індуктивне узагальнення було б більш правдоподібним. Помилки подібного роду, що допускаються в популярній індукції, кваліфікуються як поспішні узагальнення.
Енумератівная індукція
Щоб підвищити ймовірність індуктивного узагальнення, заснованого на перерахування приватних випадків, їх розташовують у певній послідовності починаючи з найпростіших і поступово сходячи до дослідження всіх інших. Такий прийом індукції Р. Декарт порівнював з ланцюгом, в якій ми можемо ясно розрізняти зв'язок між окремими її ланками, але якщо вона довга, то не можемо охопити її поглядом цілком. По суті справи такий же підхід використовується в математичній індукції, де демонструється перехід від одного елемента числового ряду до іншому, і на цій основі розкривається закономірний характер побудови тих чи інших числових рядів, наприклад арифметичній прогресії. Сам Декарт застосував цей спосіб для систематичного дослідження властивостей алгебраїчних кривих у аналітичної геометрії. Такий же суворій послідовності по можливості слід дотримуватися при дослідженні не тільки математичних, а й інших наукових об'єктів. Однак енумератівная індукція (лат. enumeratio - перерахування, перелік) являє собою лише перший крок на шляху до висування правдоподібного узагальнення. Подальший крок полягає у відборі й дослідженні більш надійних випадків і виключення менш надійн...
