або скористатися формулою (**). Зауважимо, що чим більше n, тим менше розходження між результатами, які дають обидві формули. Це пояснюється тим, що при розподіл Стьюдента прагне до нормального. p> З викладеного випливає, що метод Монте-Карло тісно пов'язаний із завданнями теорії ймовірностей, математичної статистики і обчислювальної математики. У зв'язку із завданням моделювання випадкових величин (особливо рівномірно розподілених) істотну роль відіграють також методи теорії чисел.
Серед інших обчислювальних методів, метод Монте-Карло виділяється своєю простотою і спільністю. Повільна збіжність є істотним недоліком методу, однак, можуть бути зазначені його модифікації, які забезпечують високий порядок збіжності при певних припущеннях. Правда, обчислювальна процедура при цьому ускладнюється і наближається за своєю складності до інших процедур обчислювальної математики. Збіжність методу Монте-Карло є збіжністю по імовірності. Ця обставина навряд чи слід відносити до числа його недоліків, бо імовірнісні методи в достатній мірі виправдовують себе в практичних додатках. Що ж стосується завдань, що мають імовірнісний опис, то збіжністю по імовірності є навіть в якійсь мірі природною при їх дослідженні. p> Глава 3. Обчислення інтегралів методом Монте-Карло.
В§ 1. Алгоритми методу Монте-Карло для вирішення інтегральних рівнянь другого роду.
Нехай необхідно обчислити лінійний функціонал, де, причому для інтегрального оператора K з ядром виконується умова, забезпечує відповідність низки Неймана:. Ланцюг Маркова визначається початковій щільністю та перехідною щільністю; ймовірність обриву ланцюга в точці дорівнює. N - випадковий номер останнього стану. Далі визначається функціонал від траєкторії ланцюга, математичне сподівання якого одно. Найчастіше використовується так звана оцінка по зіткнень, де,. Якщо при, і при, то при деякому додатковому умови. Важливість досягнення малої дисперсії в знакопостоянного випадку показує наступне твердження: якщоВ і, де, то, а. Моделюючи підходящу ланцюг Маркова на ЕОМ, отримують статистичну оцінку лінійних функціоналів від рішення інтегрального рівняння другого роду. Це дає можливість і локальної оцінки рішення на основі подання:, де. Методом Монте-Карло оцінка першого власного значення інтегрального оператора здійснюється інтераціональним методом на основі співвідношення. Всі розглянуті результати майже автоматично поширюються на системи лінійних алгебраїчних рівнянь виду. Рішення диференціальних рівнянь здійснюється методом Монте-Карло на базі відповідних інтегральних співвідношень.
В§ 2. Спосіб усереднення подинтегральной функції.
В якості оцінки певного інтеграла приймають
,
де n - число випробувань; - можливі значення випадкової величини X, розподіленої рівномірно в інтервалі інтегрування, їх розігрують за формулою, де - випадкове число.
Дисперсія усереднюються функції дорівнює
, ...
