m k (k = 1, 2, ..., n-1). p> Значить В
а так як m n - l 1 > Q - P, то Q - P <, звідки і поготів
Q - P <.
Лема 3. Нехай інтервал D є сума кінцевого або рахункового безлічі відкритих множин
D =.
Тоді
mD.
Д про до а із а т е л ь с т в о . Нехай D = (A, B) і нехай складові інтервали безлічі G k суть d i ( k ) (i = 1, 2 , ...).
Візьмемо позитивне число e (0
Цей сегмент покритий системою інтервалів d i ( k ) (i = 1, 2, ...; k = 1, 2, ... ). Застосовуючи до цієї системі теорему Бореля про кінцевий покритті з В§ 2, гл. II, ми отримаємо деяку кінцеву систему
(s = 1, 2, ... n),
покриває сегмент. У силу попередньої леми,, звідки і поготів
B - A - 2e <.
Так як число e довільно мало, то
B - A,
і лема доведена.
Теорема 3. Якщо відкрите обмежене безліч G є сумою кінцевого числа або лічильного безлічі відкритих множин G k , G =, то
mG.
Д про до а із а т е л ь с т в о . Нехай D i (i = 1, 2, ...) суть складові інтервали суми G. Тоді mG =. p> Але звідки, в силу леми 3, і, стало бути,
В
(*)
З іншого боку
При цьому (що є тут основним) окремі доданки правої частини взаємно не перетинаються (Тому що при i В№ i `). Значить, ми знаходимося в умовах застосовності теореми 2, а тому
В
(**)
Зіставляючи (*) і (**), ми і отримуємо теорему.
В
Міра обмеженого замкнутого безлічі
Нехай F непорожнє обмежене замкнутий безліч і S найменший сегмент, що містить безліч F. Як відомо, безліч C S F відкрито і тому має певну міру m [C S F]. Це дає можливість встановити наступне визначення. p> Визначення 1 . Мірою непорожньої обмеженого замкнутого безлічі F називається число
В
де S = [A, B] є найменший сегмент, що містить безліч F.
Для порожнього замкнутого безлічі міру визначати не потрібно, бо така безліч відкрито і мірою його ми вже домовилися вважати число 0. Крім того, непорожнє замкнутий обмежене безліч не може виявитися відкритим безліччю, так що немає потреби ставити питання про зв'язок визначень заходи відкритого і замкнутого множини.
Розглянемо деякі приклади.
1. F = [a, b]. У цьому випадку, очевидно, S = [a, b] і C s F = 0, так, що m [a, b] = b - a, тобто міра сегмента дорівнює його довжині.
2. F є сума кінцевого числа попарно не перетинаються сегментів
Можна вважати, що сегменти перенумеровані в порядку зростання лівих кінців; тоді, оч...
