евидно,
(k = 1, 2, ... n-1),
звідки випливає, що
В
Стало бути,
В
т.е . міра суми кінцевого числа попарно не перетинаються сегментів дорівнює сумі довжин цих сегментів .
3. Нехай (Канторової вчинене безліч). У цьому випадку
і звідки
В
тобто Канторової вчинене безліч має міру нуль . Цей факт цікаво зіставити з тим, що потужність множини є с.
Теорема 1. Міра обмеженого замкнутого безлічі F не негативні.
Д про до а із а т е л ь с т в о. Дійсно, якщо користуватися позначеннями визначення 1, то очевидно ГЊ (А, В), і по теоремі 1, звідки і випливає, що
Лемма . Нехай F обмежене замкнутий безліч, що міститься в інтервалі D, тоді
D-[C D F]
Д про до а із а т е л ь с т в о. Безліч C D F - відкрито, так що лема має сенс. Нехай D = (A, B), а найменший сегмент, містить безліч F, є S = [a, b] (рис.1.).
Тоді легко бачити, що С D F = C D S + C s F. <В В
Рис. 1
Обидва доданки правої частини відкриті і взаємно налягають. Значить, по властивості адитивності заходи (теорема 2) буде m [C D F] = m [C D S] + m [C s F].
Але, очевидно, C D S = (A, a) + (b, B), звідки
m [C D ] = (a-A) + (B-b),
і отже,
m [C D F] = (BA) - (ba) + m [C s F],
що й доводить лему.
Теорема 2. Нехай F 1 і F 2 два обмежених замкнутих множини. Якщо F 1 ГЊ F 2 , то mF 1 ВЈ mF 2 .
Д про до а із а т е л ь с т в о. Нехай D є інтервал, що містить безліч F 2 . Тоді легко перевірити, що С D F 1 Г‰ C D F 2 , і, стало бути, m [C D F 1 ] [C D F 2 ], так що справа зводитися до попередньої лемі.
Слідство . Міра обмеженого замкнутого безлічі F є точна верхня межа заходів всіляких замкнутих множин, містяться в F .
Теорема 3 . Нехай F замкнутий безліч, а G відкрите обмежене безліч. Якщо F ГЊ G , то mF mG .
Д про до а із а т е л ь с т в о. Нехай D є інтервал, що містить безліч G. Легко бачити, що D = G+ C D F, звідки, в силу теореми 3, отримуємо, що mD mG + m [C D F], і справа зводиться до лемі.
Теорема 4 . Міра відкритого обмеженої множини
