Визначення та найпростіші властивості вимірної функції
Якщо кожному x з безлічі E поставлено у відповідність деяке число f (x), то ми будемо говорити, що на безлічі E задана функція f (x). При цьому ми допускаємо і нескінченні значення функції, лише б вони мали певний знак, тобто вводимо В«НевласніВ» числа - і +. Ці числа пов'язані між собою і з будь-яким кінцевим числом a нерівностями
-
і ми встановлюємо для них такі закони дій:
+ В± a = +, + + (+) = +, + - (-) = +,
- В± a = -, - + (-) = -, - (+) = -,
ВЅ + ВЅ = ВЅ - ВЅ = +, + Г— a = a Г— (+) = +,
- Г— a = a Г— (-) = -, якщо a> 0,
+ Г— a = a Г— (+) = -,
- Г— a = a Г— (-) = +, якщо a <0
0 Г— (В±) = (В±) Г— 0 = 0,
(+) Г— (+) = (-) Г— (-) = +,
(+) Г— (-) = (-) Г— (+) = -,
= 0.
Тут a позначає речовий кінцеве число. Символи
+ ВҐ - (+ ВҐ), - ВҐ - (- ВҐ), + ВҐ + (- ВҐ), - ВҐ + (+ ВҐ). p>,
ми вважаємо позбавленими сенсу.
Маючи справу з функцією f (x), заданої на множині E, ми будемо символом
E (f> a)
позначати безліч тих x з безлічі Е, для яких виконано нерівність f (x)> а. p> Аналогічним чином вводяться символи
Е (f Ві а), Е (f = а), Е (f ВЈ а), Е (а
і т.п. Якщо безліч, на якому задана функція f (x), позначено небудь інший буквою, наприклад А чи В, то ми відповідно будемо писати
А (f> а), В (f> а)
тощо
Визначення 1 . Функція f (x), задана на безліч Е, називається вимірної , якщо вимірно це безліч Е і якщо при будь-якому кінцевому а вимірно безліч
Е (f> а).
У зв'язку з тим, що тут мова йде про множини, вимірних в сенсі Лебега, часто (бажаючи підкреслити саме ця обставина) говорять про вимірної (L) функції. Якщо ж Е і всі множини Е (f> а) вимірні (В), то і f (x) називається вимірної (В) функцією. p> Теорема 1. Всяка функція, задана на безлічі міри нуль, вимірна.
Це твердження очевидно.
Теорема 2. Нехай f ( x ) є вимірна функція, задана на безлічі Е. Якщо А є вимірне підмножина Е, то f ( x ), розглянута тільки для x ГЋА, вимірна .
Дійсно, А (f> а) = А Г— Е (f> а).
Теорема 3. Нехай f ( x ) задана на вимірному безлічі Е, представимо у формі суми кінцевого числа або лічильного безлічі вимірних множин Е k :
E = Г—
Якщо f ( x ) вимірна на кожному з множин E R . , то вона вимірна і на Є.
Справді, E (f> a) =.
Визначення 2. Дві функції f (x) і g (x), задані на одному і тому ж безлічі Е, називаються ...
