кщо друга похідна двічі диференціюється позитивна (негативна) всередині деякого проміжку Х, то функція опукла вниз (вгору) на цьому проміжку.
Точкою перегину графіка неперервної функції називається точка, що розділяє інтервали, в яких функція опукла вниз і вгору.
Теорема (необхідна умова перегину). Друга похідна двічі диференціюється в точці перегину дорівнює нулю, тобто.
Теорема (достатня умова перегину). Якщо друга похідна двічі диференціюється при переході через деяку точку змінює свій знак, тобто точка перегину її графіка.
Схема дослідження функції на опуклість і точки перегину:
1. Знайти другу похідну функції. p> 2. Знайти точки, в яких другий похідна або існує.
3. Дослідити знак другої похідної ліворуч і праворуч від знайдених точок і зробити висновок про інтервали опуклості і наявності точок перегину.
4. Знайти значення функції в точках перегину. p> При дослідженні функції на побудову їх графіків рекомендується використовувати наступну схему:
1. Знайти область визначення функції. p> 2. Дослідити функцію на парність - непарність. p> 3. Знайти вертикальні асимптоти
4. Дослідити поведінку функції в нескінченності, знайти горизонтальні чи похилі асимптоти.
5. Знайти екстремуми та інтервали монотонності функції. p> 6. Знайти інтервали опуклості функції і точки перегину. p> 7. Знайти точки перетину з осями координат і, можливо, деякі додаткові точки, уточнюючі графік.
Диференціалом функції називається головна, лінійна відносно частина приросту функції, рівна твору похідної на приращении незалежної змінної.
Нехай є змінних величин, і кожному набору їх значень з деякої безлічі Х відповідає одне цілком певне значення змінної величини. Тоді кажуть, що задана функція декількох змінних.
Змінні називаються незалежними змінними або аргументами, - залежною змінною. Безліч Х називається областю визначення функції. p> багатовимірного аналогом функції корисності є функція, що виражає залежність від придбаних товарів.
Також на випадок змінних узагальнюється поняття виробничої функції, що виражає результат виробничої діяльності від зумовили його чинників.
Функцію двох змінних будемо позначати. Її область визначення є підмножина координатної площині. Околицею точки називається коло, що містить крапку. p> Число називається границею функції при і (або в точці), якщо для будь-якого малого числа знайдеться число (залежне від), таке, що для всіх точок, віддалених від точок на відстань меншу, ніж, виконується нерівність.
Позначається межа так;.
Функція називається безперервної в точці, якщо вона
1. визначена в точці
2. має кінцевий межа при і
3. ця межа дорівнює значенню функції в точці, тобто.
Величина називається повним приростом функції в точці. Якщо задати прирощення тільки однієї якої-небудь змінної то виходить приватне прирощення. Приватної похідної функції декількох змінних по одній з цих змінних називається границя відношення відповідного приватного приросту функції до збільшенню розглянутої незалежної змінної при прагненні останнього до нуля (Якщо ця межа існує). Таким чином, для функції з визначення
В
.
Диференціалом функції називається сума добутків приватних похідних цієї функції на прирощення відповідних незалежних змінних, тобто
або.
Функція називається диференційованою в точці, якщо її повний приріст може бути представлено у вигляді, де
- нескінченно малі при.
Теорема. Якщо приватні похідні і функції існують в околиці точки і безперервні в самій точці, то функція диференційовна в цій точці.
Градієнтом функції називається вектор. Градієнт функції в даній точці характеризує напрямок максимальної швидкості зміни функції в цій точці.
Точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції, якщо існує околиця точки, така, що для всіх точок з цієї околиці виконується нерівність
В
Теорема. Нехай точка - є точка екстремуму диференціюється. Тоді приватні похідні і в цій точці дорівнюють нулю.
Рівність приватних похідних нулю висловлює лише необхідне, але недостатня умова екстремуму функції кількох змінних.
Якщо приватні похідні і самі є диференційовними функціями, то можна визначити також і їхні приватні похідні, які називаються приватними похідними другого порядку.
Якщо приватні похідні другого порядку функції безупинні в точці, то в цій точці.
Теорема (достатня умова екстремуму функції двох змінних). Нехай функція
1. визначена в деякій околиці критичної точки, в якій.
2. має в цій точці безперервні приватні похідні другого порядку,,.
Тоді, якщо, то в точці функція має екстремум, причому якщо - максимум, якщо - мінімум. У випадку функція екстремумів не має. Якщо, то питання про наявність екстремуму залишається відкритим.
Дослідження функції дв...
