функцій дорівнює добутку похідною першого множники на другий плюс твір першого множники на похідну другого, тобто
В
5. Похідна частки двох диференційовних функцій може бути знайдена за формулою:
.
Теорема. Якщо і - диференціюються функції від своїх змінних, то похідна складної функції існує і дорівнює похідної даної функції з проміжного аргументу і помноженої на похідну самого проміжного аргументу за незалежною змінною, тобто
.
Теорема. Для диференціюється з похідною не рівної нулю, похідна зворотної функції дорівнює зворотній величині похідної даної функції, тобто.
еластичне функції називається границя відношення відносного приросту функції до відносного приросту змінної при:
В
Еластичність функції показує наближено, на скільки відсотків зміниться функція при зміні незалежної змінної на один відсоток.
Геометрично це означає що еластичність функції (за абсолютною величиною) дорівнює відношенню відстаней по дотичній від даної точки графіка функції до точок її перетину з осями і.
Основні властивості еластичності функції:
1. Еластичність функції дорівнює добутку незалежної змінної на темп зміни функції, тобто. p> 2. Еластичність твору (приватного) двох функцій дорівнює сумі (різниці) еластичностей цих функцій:
,.
3. Еластичність взаімообратних функцій - взаємно зворотні величини:
Еластичність функції застосовується при аналізі попиту і споживання.
Теорема Ферма. Якщо дифференцируемая на проміжку функція досягає найбільшого або найменшого значення у внутрішній точці цього проміжку, то похідна функції в цій точці дорівнює нулю, тобто.
Теорема Ролля. Нехай функція задовольняє наступним умовам:
1) неперервна на відрізку;
2) дифференцируема на інтервалі;
3) на кінцях відрізка приймає рівні значення, тобто.
Тоді всередині відрізка існує принаймні одна така точка, в якій похідна функції дорівнює нулю:.
Теорема Лагранжа. Нехай функція задовольняє таким умовам
1. Неперервна на відрізку. p> 2. Дифференцируема на інтервалі;
Тоді всередині відрізка існує принаймні одна така точка, в якій похідна дорівнює приватному від ділення приросту функції на прирощення аргументу на цьому відрізку, тобто.
Теорема. Границя відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих функцій дорівнює межі відносини їх похідних (кінцевому або нескінченному), якщо останній існує у зазначеному сенсі. Отже, якщо є невизначеність виду або, то
Теорема (достатня умова зростання функції)
Якщо похідна функції, що диференціюється позитивна всередині деякого проміжку Х, то вона возрастаетна цьому проміжку.
Теорема (достатня умова спадання функції), Якщо похідна диференціюється негативна всередині деякого проміжку, то вона убуває на цьому проміжку.
Точка називається точкою максимуму функції, якщо в деякій околиці точки виконується нерівність.
Точка називається точкою мінімуму функції, якщо в деякій околиці точки виконується нерівність.
Значення функції в точках і називаються відповідно максимумом і мінімумом функції. Максимум і мінімум функції об'єднуються загальною назвою екстремуму функції.
Для того, щоб функція мала екстремум в точці необхідно, щоб її похідна в цій точці дорівнювала нулю або не існувала.
Перше достатня умова екстремуму. Теорема. p> Якщо при переході через точку похідна дифференцируемой функції змінює свій знак з плюса на мінус, то точка є точка максимуму функції, а якщо з мінуса на плюс, - то точка мінімуму.
Схема дослідження функції на екстремум.
1. Знайти похідну. p> 2. Знайти критичні точки функції, в яких похідна або не існує. p> 3. Дослідити знак похідної ліворуч і праворуч від кожної критичної точки і зробити висновок про наявність екстремумів функції.
4. Знайти екстремуми (екстремальні значення) функції. p> Друге достатня умова екстремуму. Теорема. p> Якщо перша похідна двічі дифференцируемой функції дорівнює нулю в деякій точці, а друга похідна в цій точці позитивна, тобто точка мінімуму функції, якщо негативна, то - точка максимуму.
Для відшукання найбільшого і найменшого значень на відрізку користуємося наступною схемою.
1. Знайти похідну. p> 2. Знайти критичні точки функції, в яких або існує.
3. Знайти значення функції в критичних точках і на кінцях відрізка і вибрати з них найбільше і найменше.
Функція називається опуклою вгору на проміжку Х, якщо відрізок з'єднує будь-які дві точки графіка лежить під графіком функції.
Функція називається опуклою вниз на проміжку Х, якщо відрізок з'єднує будь-які дві точки графіка лежить над графіком функції.
Теорема. Функція опукла вниз (вгору) на проміжку Х тоді і тільки тоді, коли її перша похідна на цьому проміжку монотонно зростає (Спадає). p> Теорема. Я...
