Реферат Поняття багатовимірної випадкової величини

ивається модою. p> Нормальний розподіл

Найбільш важливим розподілом безперервних випадкових величин є нормальний розподіл. Безліч явищ в практичному житті можна описати за допомогою моделі нормального розподілу, наприклад розподіл висоти дерев, площ садових ділянок, маси людей, денної температури і т.д. Нормальний розподіл використовується і для вирішення багатьох проблем в економічному житті. Наприклад, розподіл числа денних продажів в магазині, числа відвідувачів універмагу в тиждень, числа працівників в деякій галузі, обсягів випуску продукції на підприємстві і т.д.

Нормальний розподіл знаходить широке застосування і для апроксимації розподілу дискретних випадкових величин. Так, наприклад, доходи від певних видів ризикованого бізнесу приблизно підпорядковуються нормальному розподілу.

Нормальний розподіл іноді називають законом помилок. Наприклад, відхилення в розмірах деталей від встановленого пояснюються багатьма причинами, кожна з яких впливає на розмір деталі, так що відхилення, яке фактично реєструється при вимірах, є сумою великого числа відхилень (помилок).

Нормальна випадкова величина має щільність розподілу, визначається формулою

(1)

де - в€ћ

Основні властивості W (x):

а) функція W (x) існує при будь-яких дійсних значеннях х і приймає тільки позитивні значення. Отже, нормальна крива розподілу розташована вище осі абсцис;

б) при необмеженому зростанні х за абсолютною величиною W (x) прагне до нуля, значить, вісь абсцис служить горизонтальній асимптотой кривої нормального розподілу;

в) максимальне значення функція W (x) приймає в точці, що відповідає математичному очікуванню случайнойвелічіни х.

Дійсно, прирівнюючи першу похідну від W (x) до нуля, тобто

В 

переконуємося в тому, що W (x) '= 0 при х = a; W '(х)> 0 при х <а; W' (x) <<0 при х> а. p> Отже, функція W (х) приймає максимальне значення в точці х = а;

г) крива нормального розподілу симетрична відносно прямої х = а, оскільки різниця x - а входить у формулу (1) у квадраті;

д) крива нормального розподілу має дві точки перегину, симетрично розташовані щодо прямий х = а, з абсциссами точок перегину а - О» і а + О» і ординатами.

Формула (6.1) містить два параметра: математичне сподівання а = М (Х) і стандартне відхилення О» = Пѓ (X). Отже, існує нескінченно багато нормально розподілених випадкових величин, у яких різні M (Х) і Пѓ (X). Графіки їх густини мають однакову форму - симетричну, колоколообразную. Якщо М (Х) і Пѓ (X) відомі, то з сімейства нормальних випадкових величин виділяємо конкретну нормальну випадкову величину з певною щільністю.

Математичне сподівання а - це величина, яка характеризує положення кривої розподілу на осі абсцис (рис. 1). Зміна параметра а при незмінному О» призводить до переміщенню осі симетрії (х = а) уздовж осі абсцис і, отже, до відповідному переміщенню кривої розподілу. М (Х) = а іноді називають центрам розподілу або параметром зсуву. При х = М (Х) == а щільність розподілу ймовірності найбільша, а внаслідок симетрії щільності а = М про = М е , і площа, розташована під кривою, ділиться навпіл віссю симетрії. Тут М про - Мода розподілу, М е - медіана. br/>В 

Рис. 1. Криві щільності нормального розподілу з різними а і О»

Зміна середнього квадратичного відхилення при фіксованому значенні математичного очікування призводить до зміни форми кривої розподілу. Зі зменшенням О» вершина кривої розподілу буде підніматися, крива буде більш В«гостровершинностіВ» (Витягнутої вздовж осі симетрії). Із збільшенням О» крива розподілу менш гостровершинності і більше розтягнута вздовж осі абсцис. Одночасне зміна параметрів a і О» призведе до ізмененіюі форми, і положення кривої нормального розподілу.

Домовимося про форму запису випадкових величин. Наприклад, запис X ~ а (X; М (Х), Пѓ 2 ) означає: випадкова величина X підпорядковується закону розподілу а з математичним очікуванням М (Х) і середнім квадратичним відхиленням Пѓ, або дисперсією Пѓ 2 . Це загальна форма запису випадкової величини, розподіленої за законом а. Якщо йдеться про Біноміальний закон, то будемо позначати В; про нормальний - N і т.д.

Отже, якщо ми маємо справу зі випадковою величиною, що підкоряється нормальному закону розподілу, з математичним сподіванням а = 5,7 і О» = 2, то запис буде X ~ N (X; 5,7; 2 2 ). О» 2 записується як 2 2 , а не 4.

Стандартне (нормоване) нормальний розподіл

Якщо вформуле (1) а = 0; О» = 1, то

П† (z) =. (2)

При а = 0 і О» = 1 нормальний розподіл називають стандартним (нормованим) нормальним розподілом (рис. 2), а криву - нормованої.