перервної випадкової величини X, то з деякою упевненістю можна передбачити область, в яку випадкова величина може потрапити. У той же час неможливо хоча б з найменшої ступенем впевненості вгадати, яке конкретне значення з нескінченного числа можливих візьме безперервна випадкова величина.
З перерахованих вище властивостей F (х) може бути представлений графік функції розподілу (рис. 1). br/>В
Рис. 1. Графік функції розподілу неперервної випадкової величини
Графік функції розподілу змішаної випадкової величини - кусково-неперервна функція (рис. 2).
В
Рис. 2. Графік кусково-неперервної функції розподілу
Щільністю розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини X називається функція W (x), рівна першої похідної від функції розподілу F (x),
W (x) = F '(x), (1)
де W (x) - диференціальна функція розподілу. Диференціальна функція застосовується тільки для опису розподілу ймовірностей неперервних випадкових величин.
Ймовірність того, що безперервна випадкова величина прийме значення, що належить інтервалу (О±, ОІ), дорівнює визначеному інтегралу від диференціальної функції, взятому в межах від О± до ОІ,
P (О±
Використовуючи співвідношення (2) і (1), отримаємо P (О± ≤ X <ОІ) = P (О± < Геометрично цей результат дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженою віссю ОХ, кривої розподілу W (x) і прямиміх = О±, х = ОІ.
Знаючи щільність розподілу W (x), можна знайти функцію розподілу F (x) за формулою
F (x) =. (3)
Справді, так як нерівність X <х можна записати у вигляді подвійної нерівності - в€ћ
В
Рис. 3. Зв'язок функції розподілу з щільністю розподілу ймовірностей
Таким чином, для повної характеристики неперервної випадкової величини досить задати функцію розподілу або щільність її імовірності.
1. Диференціальна функція - неотрицательная функція:
W (x) ≥ 0. (4)
Це випливає з того, що F (x) - Неубутна функція, а значить, її похідна неотрицательна. p> 2. Невласний інтеграл від диференціальної функції в межах від - в€ћ до + в€ћ дорівнює 1
. (5)
Очевидно, що цей інтеграл висловлює ймовірність достовірної події - в€ћ <Х + в€ћ.
Математичним очікуванням неперервної випадкової величини називається невласний інтеграл виду
М (Х) =. (6)
Дисперсією безперервної випадкової величини називається невласний інтеграл виду
D (x) = Пѓ 2 =. (7)
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини називається квадратний корінь з дисперсії
Пѓ =. (8)
Для числових характеристик безперервних випадкових величин справедливі ті ж властивості, що і для дискретних. Зокрема, для дисперсії неперервної випадкової величини справедлива формула
D (X) =. (9)
Початковим моментом k-го порядку (m k ) випадкової величини X називається математичне сподівання її k-го ступеня:
для дискретної випадкової велічіниm k =;
для безперервної випадкової велічіниm k =. (10)
Центральним моментом k-го порядку (Ој до ) випадкової величини X називають математичне сподівання k-го ступеня відхилення випадкової величини X від її математичного сподівання:
для дискретної випадкової велічіниОј k =;
для безперервної випадкової величини
Ој k =. (10)
Зауважимо, що початковий момент першого порядку m 1 представляє собою математичне сподівання випадкової величини, а центральний момент другого порядку Ој 2 - дисперсію випадкової величини.
Центральний момент третього порядку застосовується для характеристики скошеності або асиметрії розподілу (Коеффіціентасімметріі):
ОІ 1 = Ој 3 /Пѓ 3 . (12)
Для симетричних розподілів ОІ 1 = 0. Центральний момент 4-го порядку застосовується для характеристики крутості (ексцесу) розподілу (неприведення коефіцієнт ексцесу):
ОІ 2 = Ој 4 /Пѓ 4 . (13)
Часто в практичних ситуаціях використовують квадрат коефіцієнта асиметрії та наведений коефіцієнт ексцесу.
Оі 1 = ОІ 1 2 = Ој 2 3 /Пѓ 6 ; Оі 2 = ОІ 2 -3 = Ој 4 /Пѓ 4 -3.
Величина х р , обумовлена рівністю F (x p ) = Р (Х <х р ), називається Квантиль рівня p. Квантиль х 0,5 називається медіаною. Значення х, при якому W (x) приймає максимальне значення, наз...
