bgcolor=white>
О» = 1 В В В В Стандартна нормальна випадкова величина позначається Z. Запишемо за встановленим правилом: Z ~ N (z; 0,1 2 ). Розподіл П† (z) табульованих.
Властивості функції П† (z):
а) функція П† (z) - парна, тобто br clear=all>
П† (z) = П† (- z);
б) із збільшенням z по абсолютній величині П† (z) монотонно убуває і при z в†’ в€ћ має межею нуль;
в) при z = 4 П† (z) = 0,0001, при z = 5 П† (z) = 0,0000015, тому при | z |> 5 можна вважати, що П† (z) = 0. У зв'язку з цим таблиці обмежуються значеннями функції П† (z) для аргументів z = 4 або z = 5;
В
Рис. 2. Графік кривої стандартного нормального розподілу
г) максимальне значення функція П† (z) приймає при z = 0. p> Порівнюючи (1) і (2), можна зробити висновок: щільність випадкової величини, розподіленої за нормальним законом, можна записати як:
W (x) =. (3)
Будь нормально розподілена випадкова величина може бути перетворена в стандартну (нормовану) нормально розподілену випадкову величину.
Отже, перехід X в Z досягається перетворенням:
Z = (x - a)/О». (4)
За допомогою формули (6.4) можна перетворити будь-яку нормально розподілену випадкову величину X в стандартну нормально розподілену випадкову величину Z. Зворотне перетворення стандартної нормальної випадкової величини Z в Х ~ N (Х; a; О» 2 ) можна здійснити за формулою:
X = a + Z в€™ О». (5)
Ймовірність влучення в заданий інтервал нормально розподіленої випадкової величини.
Ми знаємо, що якщо випадкова величина задана щільністю розподілу W (x), то ймовірність того, що X прийме значення, що належить інтервалу (О±, b), визначається з виразу
.
Якщо випадкова величина X ~ N (a; Пѓ 2 ), то
P (a
Для того щоб можна було користуватися готовими таблицями для обчислення ймовірностей, перетворимо X в Z і знайдемо нові межі інтегрування. Якщо х = a, то z = (a-а)/О», якщо х = b, то z = (b - а)/О». Тоді P (a
В
де x = a + zО»; dx = О›dz. p> Інтеграл виду dt називається інтегралом ймовірностей, або функцією Лапласа. Його зазвичай позначають символом F 0 (z):
(6)
Інтеграл Лапласа в загальному вигляді не береться. Його можна обчислити одним із способів наближеного обчислення інтегралів. Ця функція табульована. Користуючись функцією Лапласа, остаточно отримуємо:
P (a
Формула (7) називається інтегральної теоремою Лапласа.
Властивості F 0 (z):
а) функція F 0 (z) є непарною функцією; тобто F 0 (-z) =-F 0 (z);
б) при z = 0 функція Лапласа дорівнює нулю = 0;
в) при z В® + в€ћ F 0 (z) В® 0,5; при z В® - в€ћ F 0 (z) В® -0,5.
В
Рис. 4. Графік інтегральної функції Лапласа-Гаусса
Ф 0 (4) = 0,499997, Ф 0 (-4) = -0,499997. Значить, при ГєzГє> 4 можна вважати, що Ф 0 (4) »± 0,5. Отже, всі можливі значення інтегральної функції Лапласа належать інтервалу (-0,5; +0,5). p> Отже, функція розподілу випадкової величини, що підкоряється нормальному закону розподілу, представлена ​​через функцію Лапласа,
F (x) = 0,5 + Ф про [(x - a)/О»]. (8)
Розглянемо ряд прикладів на обчислення ймовірностей за допомогою таблиць стандартного нормального розподілу і знаходження значень Z за заданої ймовірності.
Правило В«трьох сигмВ»
Якщо позначити (x-a)/Пѓ = Z, О” = (x - a) = ПѓZ, то
P (| X - a | 0 (z), (9)
де 2Ф 0 (z) - ймовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного сподівання М (Х) = а за абсолютною величиною буде менше z сигм. Надамо z значення 1; 2; 3. Користуючись формулою (9) і таблицею інтеграла ймовірностей, обчислимо ймовірність того, що відхилення за абсолютною величиною буде менше Пѓ, 2Пѓ і ЗПѓ:
при z = 1, О” = Пѓ і P (| X-a | <Пѓ) = 2Ф 0 (1) = 0,6826;
при z = 1, О” = 2Пѓ і P (| X-a | <2Пѓ) = 2Ф 0 (2) = 0,9544
при z = 1, О” = 3Пѓ і P (| X-a | <3Пѓ) = 2Ф 0 (3) = 0,9973. p> Наведені результати обчислень представлені на рис. 5.
Ймовірність того, що випадкова величина потрапить в інтервал (а - Пѓ; а + Пѓ), дорівнює 0,6826. Геометрично цю ймовірність можна уявити заштрихованої частиною площі під кривою, що на рис. 8. Ймовірність того, що випадкова величина потрапить в інтервал (а - 2Пѓ; а +2 Пѓ), дорівнює 0,9544. Ймовірність того, що випадкова величина потрапить в інтервал (а ...
