дична схема вивчення теореми про площу криволінійної трапеції
Центральне місце в вивченні цієї теми є теорема про площі криволінійної трапеції: "Нехай f - безперервна і неотрицательная на відрізку [a, b] функція, S - площа відповідної криволінійної трапеції. Якщо F є первісна для f на відрізку [a, b], то S = F (b)-F (a). "<В В
За допомогою цієї теореми можна обгрунтувати формулу Ньютона-Лейбніца. Вивчення докази проведемо методом підготовчих завдань.
1. Прирощення аргументу, приріст функції.
Задача: "На малюнку площа криволінійної трапеції представлена ​​як функція від x. Вкажіть на цьому малюнку
S (x); S (x + Dx); DS = S (x + Dx) - S (x) ".
S (x) = a A B x; S (x + Dx) = a A C; DS = x B C;
(необхідно тому, що учні зустрічаються з новою геометричною інтерпретацією вже відомих понять ). p> 2. Визначення похідної.
"Запишіть визначення похідної функції стосовно до функції S (x) ". В результаті отримаємо запис:
В
3. Поняття функції, безперервної в точці.
"Нехай f (x) - функція, безперервна в точці x. (див. малюнок) Зазначимо на осі абсцис точки x, x + О”x і точку с, що лежить між ними. Нехай О”x в†’ 0. До чого прагне f (c)? З графічних міркувань отримуємо відповідь, що якщо
О”x в†’ 0, то з в†’ x, а f (c) в†’ f (x).
4. Твердження про те, що площа криволінійної трапеції з основою О” x можна замінити рівною площею прямокутника з тим же підставою О” x і висотою f ( c ), де с - деяка точка відрізка [ x ; x + О” x ].
Існування точки з затверджується теоремою і може бути проілюстровано наступними завданнями: "На малюнку дана криволінійна трапеція з основою О”x. Побудувати прямокутник, у якого підстава була б одно О”x, а площа дорівнювала б площі криволінійної трапеції. "Завдання виконується" на очей ", від руки і має на меті домогтися інтуїтивного (на наочно-геометричному рівні) усвідомлення розглянутого факту.
5. Визначення первісної.
"Нехай S (x) - первообразная f (x). Поясніть, що це означає. Нехай S (x) - одна з первісних для функції f (x). Запишіть формулу для загального вигляду первісних функції f (x) "(звичне визначення первообразной застосовується в нових позначеннях).
Доказ теореми доцільно розбити на три частини:
1) Введемо функцію S (x). Розглянемо функцію S (x), визначену на відрізку [a, b], яка виражає залежність площі криволінійної трапеції від аргументу x. Дамо аргументу x прирощення О”x, таке, що
.
Тоді приріст функції в точці x:
В
(О”x вважаємо позитивним)
2) Доведемо що функція S (x) є первісною для функції
для всіх
Згідно з визначенн...
