ям похідної, Так як - площа криволінійної трапеції з основою, то її можна замінити рівною площею прямокутника з основою і висотою f (c), де
В В
Тоді:
В
Оскільки з лежить між x і x + О”x, то при О”x в†’ 0 крапка з прагне до x, а f (c) в†’ f (x). Ці міркування можна записати в один рядок наступним чином:
В
Отже,
.
3) Підіб'ємо підсумки. Ми довели, що S (x) - первісна для f (x) на [a, b]. Але за умовою F (x) - також первісна для f (x) на цьому відрізку. Отже, функції S (x) і F (x) відрізняються один від одного на деяку константу С:
(1)
Нехай x = a рівність (1) прийме вигляд:, звідки C =-F (a). При x = b рівність (1) запишеться у вигляді: S = S (b) = F (b) + C = F (b)-F (a). Таким чином, S = F (b)-F (a)
Розглянемо найпростіший випадок криволінійної трапеції - звичайну трапецію. Нехай також трапеція утворена графіком функції y = x і прямими: x = 1 і x = 2. За формулою площі трапеції, відомої з курсу планіметрії,
В
Первообразная даної функції, а різниця
В
Таким чином, цей приклад підтверджує, що площа трапеції може бути знайдена як прирощення первообразной:. Методика використання розглянутого прикладу при ознайомленні учнів з теоремою може бути такою: спочатку ставиться навчальна проблема про знаходження зв'язку між площею криволінійної трапеції і первообразной; наводиться приклад, який вказує цю зв'язок; формулюється теорема або спочатку повідомляється теорема, потім наводиться прийме, що підтверджує цю теорему. br/>
4. Методична схема і аспекти запровадження поняття інтеграла в середній школі
Методична схема введення поняття інтеграла.
1) привести подводящую задачу;
2) сформулювати визначення інтеграла
1) Завдання, що підводять до цього поняття.
Завдання № 1 . На відрізку [a, b] задана безперервна і неотрицательная функція y = f (x). Вкажіть новий спосіб (не пов'язаний з первообразной) знаходження площі S криволінійної трапеції, утвореної графіком цієї функції і прямих x = a і x = b.
Етапи рішення задачі: 1) побудова ступінчастою фігури і обчислення її площі
[a, b] розбиваємо на n рівних частин:
Одна сторона прямокутника -, друга -, тому:
В
2) Вираз площі криволінійної трапеції через.
Виробляємо поділ [a; b] на більш "дрібні" частини і обчислюємо наступне значення. Після порівняння отримуємо:. p> Завдання № 2 . Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно з деякою миттєвою швидкістю, де - неперервна на відрізку функція. Потрібно знайти шлях, який пройде матеріальна точка за проміжок часу від до.
У простому випадку, коли миттєва швидкість постійна, шлях, пройдений тілом, дорівнює добутку його швидкості на час руху. У загальному випадку, коли миттєва швидкість непостійна, поступають таким чином:
В
...
