Ця теорема правильна для випадку квадратичних форм від одного невідомого, тому що всяка така форма має вигляд, який є канонічним. Ми можемо, отже, вест доказ індукцією по числу невідомих, тобто доводити теорему для квадратичних форм від n невідомих, вважаючи її вже доведеною для форм з меншим числом невідомих.
Порожній дана квадратична форма
В
від n невідомих. Ми постараємося знайти таке невироджене лінійне перетворення, яке виділило б з квадрат одного з невідомих, тобто призвело б до виду суми цього квадрата і деякої квадратичної форми від інших невідомих. Ця мета легко досягається в тому випадку, якщо серед коефіцієнтів стоять в матриці форми на головній діагоналі, є відмінні від нуля, тобто якщо в (12) входить з відзнакою від нуля коефіцієнтів квадрат хоча б одного з невідомих
Нехай, наприклад,. Тоді, як легко перевірити, вираз, що є квадратичною формою, містить такі ж члени з невідомим, як і наша форма, а тому різниця
В
буде квадратичною формою, яка містить лише невідомі, але не. Звідси
В
Якщо ми введемо позначення
при
то отримаємо
В
де буде тепер квадратичною формою про невідомі. Вираз (14) є шукане вираз для форми, так як воно отримано з (12) невиродженим лінійним перетворенням, а саме перетворенням, зворотним лінійному перетворенню (13), яке має своїм визначником і тому не вироджуючись. p> Якщо ж мають місце рівності то попередньо потрібно здійснити допоміжне лінійне перетворення, що приводить до появи в нашій формі квадратів невідомих. Так як серед коефіцієнтів у записі (12) цієї форми повинні бути відмінні від нуля, - інакше нічого було б доводити, - то нехай, наприклад,, тобто є сумою члена і членів, в кожен з яких входить хоча б одне з невідомих.
Зробимо тепер лінійне перетворення
В
Воно буде невиродженим, оскільки має визначник
В
У результаті цього перетворення член нашої форми прийме вигляд
В
тобто у формі з'являться, з відмінними від нуля коефіцієнтами, квадрати відразу двох невідомих, причому вони не можуть скоротитися ні з одним з інших членів, так як в кожен їх цих останніх входить хоча б одне з невідомих тепер ми знаходимося в умовах уже розглянутого вище випадку, тобто ще одним невиродженим лінійним перетворенням можемо привести форму до вигляду (14).
Для закінчення докази залишається відзначити, що квадратична форма залежить від меншого, ніж, ніж невідомих і тому, за припущенням індукції, деяким невиродженим перетворенням невідомих приводиться до канонічного вигляду. Це перетворення, що розглядається як (невироджене, як легко бачити) перетворення всіх невідомих, при якому залишається без зміни, призводить, отже, (14) до канонічного виду. Таким чином, квадратична форма двома або трьома невиродженими лінійними перетвореннями, які можна замінити одним невиродженим перетворенням - їх твором, приводиться до вигляду суми...
