квадратів невідомих з деякими коефіцієнтами. Число цих квадратів одно, як ми знаємо, рангу форми. Якщо, понад те, квадратична форма дійсна, то коефіцієнти як в канонічному вигляді форми, так і в лінійному перетворенні, приводящем до цього виду, будуть дійсними; справді, і лінійне перетворення, зворотне (13), і лінійне перетворення (15) мають дійсні коефіцієнти.
Доказ основної теореми закінчено. Метод, використаний в цьому доказі, може бути застосований в конкретних прикладах для дійсного приведення квадратичної форми до канонічного виду. Потрібно лише замість індукції, яку ми використовували в доказі, послідовно виділяти викладеним вище методом квадрати невідомих. p> Приклад 1. Привести до канонічного вигляду квадратичну форму
В
Зважаючи на відсутність у цій формі квадратів невідомих ми виконаємо спочатку невироджене лінійне перетворення
В
з матрицею
,
після чого отримаємо:
В
Тепер коефіцієнти при відмінний від нуля, і тому з нашої форми можна виділити квадрат одного невідомого. Вважаючи
В
тобто здійснюючи лінійне перетворення, для якого зворотне матиме матрицю
В
ми наведемо до виду
В
Поки виділився лише квадрат невідомого, так як форма ще містить добуток двох інших невідомих. Використовуючи нерівність нулю коефіцієнта при, ще раз застосуємо викладений вище метод. Здійснюючи лінійне перетворення
В
для якого зворотне має матрицю
,
ми наведемо, нарешті, форму до канонічного вигляду
В
Лінійне перетворення, що приводить (16) відразу до виду (17), буде мати своєї матрицею твір
.
Можна і безпосередній підстановкою перевірити, що невироджене (так як визначник дорівнює) лінійне перетворення
В
перетворює (16) у (17).
Теорія приведення квадратичної форми до канонічного виду побудована за аналогією з геометричною теорією центральних кривих другого порядку, але не може вважатися узагальненням цієї останньої теорії. Справді, в нашій теорії допускається використання будь-яких невироджених лінійних перетворень, у той час як приведення кривої другого порядку до канонічного вигляду досягається застосуванням лінійних перетворень вельми спеціального виду,
В
є обертанням площині. Ця геометрична теорія може бути, однак, узагальнена на випадок квадратичних форм від невідомих з дійсними коефіцієнтами. Виклад цього узагальнення, званого приведенням квадратичних форм до головних осях, буде дано нижче. br/>
В§ 2.1 Закон інерції
Канонічний вид, до якого наводиться дана квадратична форма, зовсім не є для неї однозначно визначеним: всяка квадратична форма може бути приведена до канонічного багатьма різними способами. Так, розглянута в попередньому параграфі квадратична форма невиродженим лінійним перетворенням
В
...
