ститися в прогресія,.
Отриманий результат наводить на думку про те, що і в загальному випадку для знаходження рішення рівняння треба розкласти ставлення коефіцієнтів при невідомих у чіпку дріб, відкинути її остання ланка і проробити викладки, подібні тим, які були проведені вище.
Для докази цього припущення будуть потрібні деякі властивості ланцюгових дробів.
Розглянемо нескоротних дріб. Позначимо через приватне і через залишок від ділення а на b. Тоді отримаємо:,.
Нехай, далі, - приватна і - залишок від поділу на Тоді,; точно так само
В
ВеличиниВ ,, ... Називаються неповними приватними. Наведений вище процес утворення неповних приватних називається алгоритмом Евкліда. Залишки від ділення,, ... задовольняють нерівностям
,
(5)
т. е. утворюють ряд убуваючих невід'ємних чисел.
Так як кількість невід'ємних цілих чисел, що не перевершують b, не може бути нескінченним, то на деякому кроці процес освіти неповних приватних обірветься через звернення в нуль чергового залишку r. Нехай - останній відмінний від нуля залишок у ряді (5); тоді і алгоритм Евкліда для чисел a і b прийме вигляд
(6)
Перепишемо отримані рівності у вигляді
В
Замінюючи значення в першому рядку цих рівностей відповідним значенням з другого рядка значенняВ - Виразом з третьої, рядки і т. д., отримаємо розкладання в ланцюгову дріб:
В
Вирази, отримувані з ланцюгової дробу при відкиданні всіх її ланок, починаючи з деякого ланки, назвемо підходящими дробами. Перша: підходяща дріб вийде при відкиданні всіх ланок, починаючи з:В . p> Друга підходяща дріб виходить відкиданням всіх ланок, починаючи з:. Точно так само
В
і т. д.
У силу способу утворення відповідних дробів виникають очевидні нерівності:
;.
Запишемо k -у відповідну дріб у вигляді,
і знайдемо закон освіти числителей і знаменників відповідних дробів, Перетворимо перші відповідні дроби,В ,: p align=center>;,;
;;;
;
;
Звідси отримуємо:
;.
Застосовуючи індукцію, доведемо, що співвідношення того ж виду
, (7).
виконуються для всіх.
Дійсно, нехай рівності (7) виконуються для деякого. З визначення відповідних дробів безпосередньо випливає, що при заміні у виразі величини на перейде в. Згідно індукційному припущенням
.
Замінюючи тут на, отримаємо:
.
Звідси, так як, випливає, що
,В . p> Таким чином, з виконання рівностей (7) для деякого слід виконання їх для Але для рівності (7) - виконується і, отже, їх справедливість встановлена ​​для всіх.
Покажемо ...
