тепер, що різниця сусідніх відповідних дробів задовольняє співвідношенню
. (8)
Дійсно,
.
Користуючись формулами (7), перетворимо чисельник отриманої дробу:
.
Вираз, стоїть у дужках, виходить з вихідного заміною на. Повторюючи такі ж перетворення для які утворюються виразів, отримаємо, очевидно, ланцюг рівностей:
В В В В
Звідси випливає, що
Якщо розкладання в ланцюгову дріб має ланок, то п-я підходяща дріб збігається з. Застосовуючи рівність (8), при одержимо
В (9)
Повернемося тепер до вирішення рівняння
В , (10)
Перепишемо співвідношення (9) у вигляді.
Наводячи до спільного знаменника і відкидаючи його, одержимо
В
Помножимо це співвідношення на. Тоді
В
Звідси випливає, що пара чисел ,
,, (11)
є рішенням рівняння (10) і згідно теоремі всі рішення цього рівняння мають вигляд
,В p> Отриманий результат повністю вирішує питання про знаходження всіх цілочисельних рішень рівняння першого ступеня з двома невідомими. Перейдемо тепер до розгляду деяких рівнянь другого ступеня.
3. ПРИКЛАДИ РІВНЯНЬ ДРУГИЙ СТУПЕНЯ З ТРЬОМА НЕВІДОМИМИ
П р і м е р. I. Розглянемо рівняння другого ступеня з трьома невідомими:
В (12)
Геометрично рішення цього рівняння в цілих числах можна витлумачити як знаходження всіх піфагорових трикутників, тобто прямокутних трикутників, у яких і катети, і гіпотенуза виражаються цілими числами.
Позначимо через загальний найбільший дільник чисел і:. Тоді
,,
і рівняння (12) прийме вид
.
Звідси випливає, що ділиться на і, значить, кратно:.
Тепер рівняння (12) можна записати у вигляді
;
скорочуючи на , отримаємо
.
Ми прийшли до рівняння того ж виду, що й вихідне, причому тепер величини і не мають спільних дільників, крім 1. Таким чином, при вирішенні рівняння (12) можна обмежитися випадком, коли і взаємно прості. Отже, нехай. Тоді хоча б одна з величин і (наприклад, ) буде непарної. Переносячи в праву частину рівняння (12), отримаємо
;. (13)
Позначимо через загальний найбільший дільник виразів і. Тоді
,, (14)
де і взаємно прості.
Підставляючи в (13) значення іВ , отримаємо
.
Так як числа і не мають спільних дільників, то отримане рівність можливо тільки в тому випадку, коли і будуть повними квадратами:
,В . p> Але тоді
В
і
В (15)
Знайдемо тепер і з рівностей (14). Додавання цих рівностей дає:
;. (16)
Віднімаючи друге з рівностей (14) з першого, отримаємо
