ble>
,
(4)
при дають всі рішення рівняння (3). p> Д про до а із а т е л ь с т в о. Нехай - довільне рішення рівняння (3). Тоді з рівностей
і
отримуємо
;.
Так як - ціле число і числа і взаємно прості, то повинно остачі ділитися на , т. е. має вигляд
,
де - ціле. Але тоді
,
і отримуємо
,.
Таким чином доведено, що всяке рішення має вигляд (4). Залишається ще перевірити, що всяка пара чисел , одержувана за формулами (4) при цілому , буде рішенням рівняння (3). Щоб провести та кую перевірку, підставимо величини, в ліву частину рівняння (3):
,
але так як - рішення, то і, отже,, тобто - Рішення рівняння (3), ніж теорема повністю доведена.
Отже, якщо відомо одне рішення рівняння, то всі інші рішення знайдуться з арифметичних прогресій, загальні члени яких мають вигляд:
,.
3аметім, що у випадку, коли, знайдені раніше формули рішень
,
можуть бути отримані з щойно виведених формул,, якщо вибрати, що можна зробити, так як значення, є, очевидно, рішенням рівняння
,
Як ж знайти якесь одне рішення рівняння (3) в загальному випадку, коли. Почнемо з прикладу. p> Нехай дано рівняння
Перетворимо ставлення коефіцієнтів при невідомих.
Перш всього, виділимо цілу частину неправильного дробу;
Правильну дріб замінимо рівної їй дробом.
Тоді отримаємо. Проробимо такі ж перетворення з отриманої в знаменнику неправильної дробом. p> Тепер вихідна дріб прийме вигляд:
Повторюючи ті ж міркування для дробу отримаємо.
Виділяючи цілу частину неправильного дробу, прийдемо до остаточного результату:
В
Ми отримали вираз, який називається кінцевої ланцюгової або безперервної дробом. Відкинувши остання ланка цієї ланцюгової дробу - одну п'яту, перетворимо виходить при цьому нову ланцюгову дріб у просту і віднімемо її з вихідної дробу:
,.
Наведемо отриманий вираз до спільного знаменника і відкинемо його, тоді
.
З зіставлення отриманої рівності з рівнянням випливає, що, буде вирішенням цього рівняння і згідно теоремі всі його рішення будуть мі...
