/p>
Приклад: Елементарні матриці порядку 2
,,,,
Позначення:-елементарна матриця, отримана з одиничної матриці за допомогою елементарного перетворення
Глава IV p> В§ 1 Визначники p> Визначник матриці позначається. Іншими словами визначник матриці-це сума творів з безлічі помножена на знак, відповідної підстановки.
Приклад
Визначник другого порядку дорівнює добутку елементів головної діагоналі відняти добуток елементів на побоічной.
Для
Отримали правило трикутника:
В§ 2 Найпростіші властивості визначників p> Визначник матриці з нульовою рядком (стовпчиком) дорівнює нулю
Визначник трикутної матриці дорівнює добутку елементів, розташованих на головній діагоналі
-це трикутна матриця якщо елементи під головною діагоналлю дорівнюють нулю.
Визначник діагональної матриці дорівнює добутку елементів, розташованих на головній діагоналі. Матриця діагональна якщо всі елементи, розташовані поза головної діагоналі дорівнюють нулю.
В§ 3 Основні властивості визначників p> полі скалярів,
1)
Доказ:
, позначимо. Якщо В«пробігаєВ» всю безліч, то теж В«ПробігаєВ» все тобто
При перестановці двох стовпців (рядків) матриці її визначник змінить знак.
Доказ:
I) Перестановка стовпців:
Нехай - це матриця, отримана з перестановкою двох стовпців з номерами, де. Розглянемо транспозицию:
, транспозиція є непарною підстановкою,,
У доказі будемо використовувати рівність:
Якщо пробігає вся безліч значень, то теж пробігає всі значення і
II) Перестановка рядків
Нехай отримана з перестановкою двох рядків, тоді отримана з перестановкою двох стовпців, тоді
III) Визначник матриці, що має дві однакові рядка (стовпця) рівних нулю
Доказ:
Проведемо для такого поля, де
Зауваження
Доказ для випадку знайди в підручнику Куликової Алгебра і теорія чисел
Нехай у є дві однакові рядки з номерами і, Де, поміняємо місцями рядки і, отримаємо матрицю
(за св.2)
і, тоді
Якщо у два однакових стовпця, то у транспонованою матриці дві однакові рядки
IV) Якщо всі елементи якого-небудь рядка (стовпця) матриці помножити на, то визначник помножитися на
Доказ:
Нехай отримана з множенням на рядки
так як, то
Аналогічне доказ для стовпців
V) Визначник матриці у якої два рядки (шпальти) пропорційні дорівнюють нулю
Доказ:
Нехай в матриці, рядки пропорційні т.е-рядок дорівнює добутку на-рядок. Нехай p>
Для стовпців:
Нехай отримана з,. Стовпці і пропорційні і
VI) Якщо кожен елемент-рядка (стовпця) квадратною матриці є сума двох елементів, то визначник дорівнює сумі двох визначників. У матриці першого визначника в - рядку (Стовпці), записа...
