p> Властивості:
Твір можна розглядати, як результат множення стовпців матриці на ліворуч і як результат множення рядків матриці на справа.
Нехай матриця,-лінійна комбінація стовпців матриці коефіцієнти якої служать елементи матриці
Приклад
Нехай-матриця, тоді-лінійна комбінація рядків матриці коефіцієнти якої служать елементи матриці
Приклад:
Стовпці матриці-лінійна комбінація стовпців матриці. Рядки-лінійна комбінація рядків матриці.
В§ 4 Транспонування твори матриць p> полі скалярів,,,,
Теорема
якщо, то. Позначимо:,
Доказ:
1) Нехай,
- розмірності, - розмірності, тоді і мають однакову розмірність
2),-елемента розташований в-рядку,-стовпці матриці т.е
,-твір-рядки транспонованою на стовпець,
Глава III p> В§ 1 Оборотні матриці p> полі скалярів, безліч матриць порядку p> Визначення. Квадратна матриця порядку називається одиничною матрицею,
Нехай,
Теорему 1
, то для виконується
Доказ:
З цього випливає. Матриця є одиничною матрицею. Вона виконує роль одиниці при множенні матриць.
Визначення. Квадратна матриця називається оборотною якщо існує так, що виконуються умови
Матриця називається зворотної до і позначається , Тоді якщо-це зворотна до, то зворотна до-це взаємообернених матриці тобто p> Теорема 2
Якщо-оборотна, то існує тільки одна матриця зворотна до
Доказ:
Нехай дана матриця, яка оборотна і нехай існують матриці зворотні до тобто . Маємо
Позначення: Безліч всіх оборотних матриць порядку над полем позначається
Теорема 3
Справедливі твердження:
1) алгебра
2) група
Доказ:
1)-це бінарна операція
а) Нехай, так як-оборотні матриці, перевіримо, що-це бінарна операція:
зворотні до
Аналогічно:, оборотна матриця т.е-це бінарна операція
б), матриця оборотна, тому-це унарна операція
в) оборотна т.е
2) Доведемо друге твердження, що група. Для цього перевіримо аксіоми груп:
1)
2)
3)
група
Слідство:
Твір оборотних матриць є оборотна матриця
Якщо оборотна, то оборотна
В§ 2 Елементарні матриці p> Нехай полі скалярів
Определеніе.Елементарной матрицею називається матриця, отримана з одиничної матриці в результаті одного з таких елементарних перетворень:
Множення рядка (стовпця) на скаляр
Додаток до якої або рядку (стовпцю) інший рядки (шпальти), помножений на скаляр
Позначення:-елементарна матриця, отримана множенням на-рядки (Шпальти) матриці
-рядок
-елементарна матриця, отримана додаванням до-рядку (Стовпцю) матриці-рядка (Шпальти), помноженої на
-рядок <...
