ні перші доданки, а в матриці другого визначника другі доданки. Інші елементи матриць цих визначників такі ж як у матриці
Доказ:
VII) Ялини до якої або рядку (стовпцю) матриці визначника додати іншу рядок (стовпець), помножений на, то визначник незмінними.
Доказ:
Для стовпців анологично.
VIII) Якщо яка небудь рядок (стовпець) матриці є лінійною комбінацією інших рядків (Стовпців), то визначник
Доказ:
Якщо яка то рядок лінійна комбінація інших рядків, то до неї можна додати інші рядки, помножені на скаляри так, щоб вийшла нульова рядок. Визначник такої матриці дорівнює нулю. p> Приклад:
(спочатку множимо першу рядок на -2 і складаємо з другої, потім на -3 і складаємо з третьої). Таке правило приведення до трикутного вигляду використовується для визначників - порядку:
так як визначник трикутної матриці дорівнює твору елементів розташованих на головній діагоналі.
Якщо квадратна матриця є твором деяких матриць (які можуть бути прямокутними), то часто буває важливо мати можливість висловити визначник твори в термінах властивостей множників. Наступна теорема-потужний показник цього. p> В§ 4 Мінори і алгебраїчні доповнення. p> Теореми про визначниках. p> полі скалярів,
Опр. Мінор елемента визначника порядку - визначник порядку, отриманий з викреслюванням-рядки і-стовпця.
Головні мінори визначника
Для головні мінори є визначники
,, ...,,
Приклад:
Розглянемо матрицю і обчислимо її мінори:,,
Визначення. Алгебраїчним доповненням елемента позначається називається число
Приклад: Обчислимо,,
Лемма 1
і. p> Доказ:
(у сумі лише ті доданки ненульові, де)
Тоді підстановка має вигляд:, де. До підстановці поставимо у відповідність т.е
, таке відповідність називається взаімооднозначном відображенням безлічі підстановок на безліч підстановок,. Очевидно, що і мають однакові інверсії, значить мають однакову парність і знаки
Лемма 2
Якщо дорівнюють нулю всі елементи якого-небудь рядка (Стовпця) матриці за винятком бути може одного елемента, то визначник матриці дорівнює добутку цього елемента на його алгебраїчне доповнення
Доказ:
Нехай всі елементи-рядки матриці за винятком елемента, перестановкою рядків і стовпців перемістили елемент у правий нижній кут, значить рядків і-стовпців. Знак буде змінюватися раз, після цього вийти матриця у якої всі елементи останнього рядка крім може бути рівні нулю. За Лемме 1, т до
Теорема Лагранжа
дорівнює сумі добутків елементів будь-якого стовпця (рядки) матриці на їх алгебраїчне доповнення. Іншими словами: розкладання по-колонки матриці має вигляд:, а розкладання по-рядку матриці:
Доказ:
розглянемо-стовпець матриці і запишемо у вигляді:, по 6 властивості визначників:
, аналогічно доводиться формула розкладанн...
