> де b (u) визначається рівністю (4). В
Комплексна форма інтеграла Фур'є
В
, (5)
де
.
Вираз у формі (5) є комплексною формою інтеграла Фур'є для функції f (x).
Якщо у формулі (5) замінити c (u) його виразом, то отримаємо:
, де права частина формули називається подвійним інтегралом
Фуpье в комплексній формі. Перехід від інтеграла Фур'є в комплексній формі до інтеграла
В
в дійсній формі і назад здійснимо за допомогою формул:
В
В В
Формули дискретного перетворення Фур'є
Зворотне перетворення Фур'є.
де n = 1,2, ... , K = 1,2, ...
Дискретним перетворенням Фур'є - називається N-мірний вектор
при цьому,.
В
РОЗДІЛ 2
ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА
В В
Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є
Вихідні дані:
В
(Мал. 1)
В
Функція періодична з періодом. (f (x + T) = f (x)) Функція має на проміжку кінцеве число точок розриву першого роду.
Сума ряду в точках функції сходиться до значення самої функції, а в точках розриву до величини, де-точки розриву.
В
Рис. 1
В
Похідна також безперервна скрізь, крім кінцевого числа точок розриву першого роду. Висновок: функція задовольняє умові розкладання в ряд Фур'є. p> 1) F (x) - кусково-неперервна на інтервалі.
2) F (x) - кусково-монотонна.
Так як відсутня симетрія відносно OY, а також центральна симетрія - то розглянута функція довільна.
В В В В
Вивчення функцій рядів Фур'є.
В
З розкладання бачимо, що при n непарному приймає значення рівні 0, і додатково треба розглянути випадок коли n = 1.
Тому формулу для можна записати у вигляді:
(так як).
Окремо розглянемо випадок коли n = 1:
.
Підставимо знайдені коефіцієнти в одержимо:
і взагалі
.
В
Знайдемо перші п'ять гармонік для знайденого ряду:
В
1-ша гармоніка,
В
В
2-а гармоніка,
В
В В В В В В В В
3-а гармоніка,
В В В
4-а гармоніка,
В В В В В В В В В В
5-а гармоніка,
В В
і загальний графік F (x), сума вище перерахованих гармонік. і самі гармоніки.
В
В
Запишемо комплексну форму отриманого ряду
В В
Для розглянутого ряду отримуємо коефіцієнти (див. теорію)
,
але при не існує, тому розглянемо випадок коли n = +1:
(тому см. розкладання вище)
і випадок коли n = -1:
(тому)
І взагалі комплексна форма:
В В
В
або
В
В
або
В
В В
