нути класи істотних кооперативних ігор. p> Розглянемо спочатку класи ігор в (0,1)-скороченої формі для випадку ігор з нульовою сумою. p> 1. Ігри 2-х гравців. Всяка кооперативна гра двох гравців з нульовою сумою є несуттєвою.
Доказ. Припустимо, що є істотна кооперативна гра двох гравців з характеристичною функцією u, Тоді вона повинна бути стратегічно еквівалентна деякій грі в (0,1)-редукованою формі з характеристичною функцією u1, що означає наступне:
u1 (1) = 0, u1 (2) = 0, u1 (1,2) = 1
По властивості додатковості повинно
u1 (2) = u1 (1,2) - u1 (1) = 1 - 0 = 1,
що суперечить (*). А це означає, що наше припущення про суттєвості кооперативної гри двох гравців з нульовою сумою невірно.
Отже, клас кооперативних ігор двох гравців з нульовою сумою обмежується несуттєвими іграми.
2. Ігри 3-х гравців. Нехай u - характеристична функція істотною гри в (0,1)-скороченої формі, тоді
u (1) = u (2) = u (3) = 0, u (1,2,3) = 1.
По властивості додатковості маємо:
u (1,2) = u (1,2,3) - u (3) = 1 - 0 = 1,
u (1,3) = u (1,2,3) - u (2) = 1 - 0 = 1,
u (2,3) = u (1,2,3) - u (1) = 1 - 0 = 1,
і, таким чином, характеристична функція повністю визначена. Отже, є два класу кооперативних ігор трьох гравців з нульовою сумою: клас істотних і клас несуттєвих ігор.
3. Ігри 4-х гравців. Розглянемо всі класи стратегічної еквівалентності таких ігор.
Насамперед мається клас несуттєвих ігор в (0,1)-скороченої формі визначимо характеристичну функцію u такої гри
u (1) = u (2) = u (3) = u (4) = 0
u (1,2,3,4) = 1. p> Виходячи з властивості додатковості, отримуємо
u (1,2,3) = u (1,2,3,4) - u (4) = 1 - 0 = 1;
u (1,2,4) = u (1,2,3,4) - u (3) = 1 - 0 = 1;
u (1,3,4) = u (1,2,3,4) - u (2) = 1 - 0 = 1;
u (2,3,4) = u (1,2,3,4) - u (1) = 1 - 0 = 1.
Тепер необхідно визначити значення характеристичної функції на коаліціях двох гравців. Усього таких коаліцій шість
(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4).
Характеристична функція на цих коаліціях відповідно до властивості додатковості задовольняє тільки наступним співвідношенням:
u (1,4) = 1 - u (2,3),
u (1,3) = 1 - u (2,4),
u (1,2) = 1 - u (3,4).
Так як значень невідомих шість, а співвідношень тільки три, то значення з шести можуть бути обрана довільно. Позначимо ці довільні значення через x1, x2, x3, тобто
u (1,4) = x1, u (2,4) = x2, u (3,4) = x3,
Тоді
u (2,3) = 1 - x1, u (1,3) = 1 - x2, u (1,2) = 1 - x3.
Крім того має бути
0 ВЈ x1, x2, x3 ВЈ 1,
оскільки значення характеристичної функції на коаліції з двох гравців не може бути менше, ніж значення характеристичної функції для одного з цих гравців (рівне нулю для одного гравця), і не може бути більше, ніж значення характеристичної функції для коаліції з трьох гравців (рівне 1 для трьох гравці...
