в). Геометрично (x1, x2, x3) можна зобразити як точку одиничного куба, тобто кожному класу стратегічної еквівалентності ігор чотирьох гравців буде відповідати точка одиничного куба. p> Отже, безліч класів стратегічної еквівалентності істотних ігор чотирьох гравців нескінченно і залежить від трьох довільних параметрів. В
4. Ігри, які з понад 4-х гравців, мають більшу різноманітність класів стратегічної еквівалентності істотних ігор.
Так, розмірність безлічі класів ігор n гравців дорівнює, тобто мається довільних параметрів.
Розглянемо тепер кооперативні ігри без умови сталості суми.
1. Для ігор 2-х гравців безліч N = {1,2}, умови редукування дають
u (Г†) = u (1) = u (2) = u (1,2) = 1.
Таким чином, істотні кооперативні гри двох гравців з ненульовою сумою складають один клас стратегічної еквівалентності.
2. Для ігор 3-х гравців безліч N = {1,2,3}, умови редукування дають
u (Г†) = u (1) = u (2) = u (3) = 0; u (1,2,3) = 1.
Значення характеристичної функції на множинах коаліцій двох гравців довільні (тут немає умови додатковості)
u (1,2) = C3, u (1,3) = C2, u (2,3) = C1,
але задовольняють умові
0 ВЈ C1, C2, C3 ВЈ 1.
Таким чином, класи стратегічної еквівалентності загальних кооперативних ігор трьох гравців можуть бути поставлені в відповідність точкам тривимірного одиничного куба подібно до того, як це вийшло для ігор 4-х гравців з нульовою сумою.
Для ігор більше 3-х гравців з ненульовою сумою розгляду аналогічні.
Для дослідження ігор велике значення має можливість обліку уподобання поділів, який здійснюється за допомогою поняття домінування.
Визначення. Нехай є два поділу x = (x1, ..., xn) і y = (Y1, ..., yn) в кооперативній грі G = {N, u}, і KГЊ N - деяка коаліція. Тоді поділ x домінує y по коаліції K, якщо
1) ВЈ u (K) (властивість ефективності домінуючого платежу)
2) xi> yi для всіх iГЋK (властивість перевагу)
Властивість ефективності означає, що порівнюваний коаліцією поділ x повинен бути, реалізованим цією коаліцією: сума виграшів кожного з членів коаліції не повинна перевищувати впевнено одержуване нею кількість. У Інакше коаліція, зустрівшись з поділом, що дає їй стільки, скільки вона самостійно не в змозі домогтися, повинна погодитися на нього і не займатися його порівнянням з якими або іншими Дележа.
Умова перевагу відображає необхідність "одностайності" в перевазі з боку коаліції: якщо хоча б одна з нерівностей xi> yi буде порушено, тобто якщо хоча б для одного з членів коаліції K виграш в умовах поділу y буде не меншим, ніж в умовах поділу x, то можна буде говорити про перевагу поділу x поділу y не всієї коаліцією K, а тільки тими її членами, для яких відповідне нерівність xi> yi дотримується.
Співвідношення домінування x над y по коаліції K позначається через
.
Визначення. Поділ x домінує y, якщо існує така коаліція K, для якої...
