чисельне рішення - це не завжди точне математичне рішення.
Розглянемо, наприклад, квадратне рівняння, яке має менший корінь. Якщо використовуваний нами машинний метод дозволять обчислювати квадратні корені з точністю до одного знака після коми, тоді:
В
Результат відрізняється від точного на 100%. Проте його можна поліпшити, якщо перевести обчислюваний квадратний корінь в знаменник:
В
Тобто в даному випадку вдалося знайти спосіб виправити помилку, обумовлену машинним методом.
Взагалі, виділяють чотири основні типи помилок, характерних для наближених обчислень.
. Помилки вихідних даних мають місце, коли вихідні дані носять наближений характер, наприклад, отримані шляхом фізичних вимірювань (будь-який засіб вимірювання має обмежену точність). Цей вид помилки розглядається як шум (кажуть, що дані зашумлені). Поліпшення точності при наявності таких помилок не досягається навіть при правильній організації процесу обчислень. p>. Помилки округлення виникають у зв'язку з кінцевим поданням дрібних чисел в комп'ютері. Брак розрядів зумовлює втрату частини значущих цифр. Наприклад, періодична дріб 0, (3) у пам'яті ЕОМ напевно виявиться усіченої до деякої кількості знаків. p> Зауваження: При підрахунку кількості значущих цифр не враховують нулів, що стоять ліворуч, наприклад, в числі 0,0128630 шість значущих цифр (вони підкреслені).
Аналіз помилок округлення ускладнюється тим, що в звичайному комп'ютері десяткові числа представляються у вигляді двійкових кодів. Фактично число, що зберігається в комп'ютері, може випадковим чином як заокруглюватимуть, так і буде скорочуватися. І відповідні помилки можуть поширитися на наступні обчислення, найчастіше в циклах. p> Наприклад, обчислення за допомогою операторів циклу з використанням не професійні математичного пакета, а якого-небудь універсальної мови програмування може призводити до слабкий помилку, тому що для числа 0,1 немає кінцевого двійкового подання: 0,110 = 0, (1100) 2.
Якщо нагромадження помилок округлення призводить до значної втрати точності, то алгоритм (метод) вважається нестійким, в іншому випадку - стійким.
. Помилки переповнення виникають в тому випадку, коли результат розрахунку за своїм абсолютним значенням перевищує найбільшу представимое в пам'яті ЕОМ значення. При правильному використанні програмних засобів зустрічаються досить рідко. Одним із способів їх уникнути є зміна одиниць вимірювання обчислюється величини, наприклад, 1000 мм = 1 м і т.д.
. Помилки методу (алгоритму) виникають внаслідок відхилення алгоритмічного процесу обчислень від точного (аналітичного). p> Якщо при необмеженому збільшенні числа кроків алгоритму рішення дискретної задачі прагне до вирішення вихідної задачі, то говорять, що обчислювальний метод сходиться.
Для підвищення надійності алгоритмів часто застосовують комбінування різних методів, автоматичну параметричну настро...
