нерація 3-ей гармоніки, при й.
У всіх наведених прикладах резонансів другого і третього порядків в загальному випадку спостерігається яскраво виражена амплітудна модуляція , глибина якої зростає, коли фазова расстройка прагне до нуля. Хвилі, фази яких задовольняють умовам фазового синхронізму, формують так звані резонансні ансамблі .
Нарешті, у другому нелінійному наближенні завжди присутні так звані нерезонансні взаємодії , коли умови фазового синхронізму вироджуються в наступні "тривіальні" випадки: крос-взаємодії пари хвиль, при та; самовоздействія хвилі, і.
нерезонансних взаємодії в основному характеризуються тільки лише фазовою модуляцією хвиль.
Основна пропозиція цього пункту можна сформулювати наступним чином. Якщо в системі (4) немає резонансів, починаючи з порядку і до порядку включно, то слід чекати, що нелінійність призведе лише тільки до малих поправкам до рішень відповідної линеаризованной системи. Ці поправки будуть того ж порядку,, що і міра нелінійності, і аж до часів . p> Для отримання формально придатного перетворення (7) у резонансному випадку, слід переглянути структуру системи порівняння (5) у сторону модифікації її правій частині:
(8);,
таким чином, щоб нелінійні доданки, де - однорідні поліноми-го порядку, містили б тільки лише резонансні члени. У цьому випадку рівняння (8) асоціюються з так званими нормальними формами . У практичних завданнях, ряди зазвичай коротшають до одного-двох доданків відповідного порядку по.
Доречні наступні зауваження
Теорія нормальних форм досить просто узагальнюється на випадок так званих істотно нелінійних систем, оскільки малий параметр може бути опущений у виразах (4) - (8) без жодного збитку для кінцевого результату, при цьому і оператор може також залежати від просторової змінної.
Формально, власні значення оператора можуть бути довільними комплексними числами. Це означає те, що резонанси порядку можуть бути визначені і проклассифицировать навіть і для неколебательних процесів, наприклад стосовно до еволюційним рівнянням.
Резонанс у багатохвильових системах
Явище резонансу грає ключову роль в динаміці більшості фізичних систем. Інтуїтивно, резонанс асоціюється з одним окремим випадком силового збудження лінійних коливальних систем. Таке порушення супроводжується з більш-менш швидким зростанням амплітуди коливань при достатній близькості однією з власних частот коливань системи до частоті зовнішнього періодичного обурення. У свою чергу, у випадку так званого параметричного резонансу виникають деякі раціональні співвідношення між власними частотами системи і частотою параметричного обурення. Таким чином, резонанс можна найпростіше класифікувати, згідно вище наведеного ескізу, за його порядку, починаючи з першого,, якщо включити в розгляд і лінійні і нелінійні динамічні системи. Тому, в загальному випадку, поняття ...
