резонансу в коливальних системах може бути пов'язано з фізичним явищем, яке характеризується накопиченням енергії одним або кількома коливальними об'єктами за рахунок енергії іншої групи коливальних об'єктів, коли всі коливальні процеси об'єднані деяким просторово-тимчасовим спорідненістю. Так звані нерезонансні процеси, такі як крос-взаємодії та самовплив, також можуть бути включені в подібне визначення, але зі спеціальної застереженням, що стосується їх специфічних динамічних властивостей.
Для широкого класу механічних систем зі стаціонарними крайовими умовами математичне визначення резонансу випливає з розгляду наступних усереднених функцій
(9), при,
де - комплексні константи відповідні рішеннями лінеаризованих еволюційних рівнянь (5); - просторовий обсяг, займаний системою. Якщо функція зазнає скачок при заданих значеннях і, то систему слід віднести до резонансної [5]. Останнє підтверджується основними результатами теорії нормальних форм. Резонанс має місце за умови виконання умов фазового синхронізму
і.
Тут - число резонансно взаємодіючих квазірармонік; - деякі цілі числа, і - параметри малої расстройки. p> Приклад 1. Розглядаються лінійні поперечні коливання тонкої балки, підданого дії малої зовнішньої періодичної сили і параметричного збудження, згідно рівняння
,
де,,,,, і - деякі відповідні константи,. Це рівняння переписується в стандартній формі
,
де,, . При, рішення рівняння таке, де власні частоти задовольняють дисперсионному співвідношенню. Якщо, тоді малі амплітудні варіації задовольняють наступному рівнянню
В
де, - групова швидкість амплітудної обвідної. Усереднення правій частині цього рівняння, відповідно до (9), дає
, при;
, при та;
у всякому іншому випадку.
Зазначимо, що резонансні властивості системи з нестаціонарними крайовими умовами не завжди можуть бути виявлені за допомогою функції.
Приклад 2. Розглядаються рівняння, що описують коливання балки по моделі Бернуллі-Ейлера:
В
з граничними умовами;;. Після приведення рівнянь до стандартної форми і використанні формули (9), визначається скачок функції при умовах
і.
Водночас, резонанс першого порядку, випробовуваний поздовжньою хвилею на частоті, автоматично вже не визначається.
Література
1. Kaup P. J., Reiman A. and Bers A. Space-time evolution of nonlinear three-wave interactions. Interactions in a homogeneous medium, Rev. of Modern Phys., (1979) 51 (2), 275-309.
2. Ковригін Д.А., Потапов А.І. Нелінійна хвильова динаміка одновимірних пружних систем. Изв. вузів. ПНД , (1996) 4 (2), 72-102. p> 3. Маслов В.П. Операторні методи . М.: Наука, 1973, с.544. p> 4. Jezequel L., Lamarque C. - H. Analysis of nonlin...
